算法复杂度分析与计算

数据结构是数据的存储方式，显示数据的关系，而算法必要的条件是输入和输出数据，因此数据结构也是算法的必要条件。

一个健全的算法必须具备有穷性，确定性，可执行性。算法也分好坏之分，例如著名数学家高斯发现了算数级数的对称性，从而能够从等差数列的角度计算求和。

#include
int main(){
	int ans =0,i;
	for (i=0;i<=100;i++){
		ans +=i;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;	
} 

#include
int main(){	
	int a =(1+100)*(100/2);
	printf("%d",a);
	
} 

在求1-100的数时两个方法都求出的时5050，但是显然第二个更加简单。因此算法也是有优劣的，评价算法优劣的衡量标准叫算法的复杂度，分为时间复杂度和空间复杂度。

程序执行时间表示一个程序运行所需要的时间，一个算法的执行时间大致上等千其所有语句执行时间的总和。

一个算法执行的时间受计算机，编译时间，硬件环境等影响，但是这些因素与算法无关，因此见给每一条语句执行时间看作单位时间，则所有语句执行的单位时间就是时间复杂度。

时间复杂度定义为算法执行时间的增长率O(n)。

语句频度定义为一条语句的重复执行次数f(n)。
由于时间为单位时间，那么对于任何执行次数（语句频度）均有
$$f(n)=1\ast n$$

n表示执行次数。

如果一段算法3000行，那么$$f(n)=1\ast 3000$$
故执行时间的增长率为1，每次增加一个单位时间，所以时间复杂度也就最低。

规定时间复杂度用O(fn)表示，并规定常数的时间复杂度为O(1)即T(n) = O(1)。

时间复杂度的计算公式为T(n) = O(f(n)).

如下常见的时间复杂度计算：

int i;
for (i=0;i<n;i++){
	s = s+i;    //执行n次
	i++;
}

语句频度：
$$f(n)=n+1$$
时间复杂度：
$$O(n)=n$$

for(i=0;i<=n;i++){
	for(j=0;j<=n;j++){
		y++;
	}
}

上面算法中外层的语句频度为fn=n，内层的语句频度的时间复杂度为fn=n,因此整个程序的时间语句频度为n^2即fn=n^2故T(n) = O(n^2)。

for (i=0;i<=n;i=i*2){
	ans +=i;
}

上面程序只有一个循环，但是次循环的增量为i*2，在[0,100]的范围内，令语句频度为f(n)
$$2^{f(n)}<=n$$

$$f(n)<=lo{g}_{2}n$$

所以时间复杂度为 ${\log }_{2}n$。

算法的存储空间需求，采用渐近空间复杂度(Space
Complexity)作为算法所需存储空间的度量，称为空间复杂度。

一个程序除了本身的输入输出，需要对生产的数据进行存储，前者取决于问题本身于算法无关，后者所占用的存储空间的大小表示算法所需要存储容量的大小。

for(i=O;i<n/2;i++) { 
	t=a[i]; 
	a[i]=a[n-i-1]; 
	a[n-i一l]=t;
}

for (i=O; i<n; i++) {
	b[i]=a[n-i-1]; 
}
for(i=O;i<n;i++) {
	a [i] =b [i];
}

两个程序完成同样的功能，但是前者仅需要以恶搞变量t，后者需要一个数组。对于空间复杂度也是和时间复杂度相同的计算方法。

$$S(n)=O(f(n))$$

对于第一个算法f(n) = 1 ，S(n) = O(1)。第二哥算法f(n) = n, S(n) = O(n)。

令单位空间1，算法空间占用大小f(n) ,若f(n) 不为常数，则O(n)取最大阶数项。