大整数的四则运算（高精度计算）(c语言)
大整数运算
对于一道A + B的题目，如果A 和B的范围在int范围内，那么相信大家很快就能写出程序，但如果A和B是有着1000个数位的整数，那就已经没有数据类型来表示了，这时就只能老老实实去模拟加减乘除的过程，实际上这些东西的原理都是小学的知识。此外大整数又称为高精度整数，其含义就是用基本数据类型无法存储其精度的整数。
1.大整数的存储
用一个数组来存放整数的每一位，并将整数的高位存储在数组的高位，整数的低位存储在数组的低位，为了方便随时获取大整数的长度，一般都会定义一个int变量类型的len记录其长度，并和数组组成结构体 如下：
//大整数结构体
struct bign {
int d[1000];
int len;
bign() { //初始化结构体
memset(d, 0, sizeof(d));
len = 0;
}
};
2.大整数的输入
//输入大整数
bign change(char str[]) { //将整数转换为bign
bign a;
a.len = strlen(str);
for (int i = 0; i < a.len; i++) {
a.d[i] = str[a.len - 1 - i] - '0';//逆序赋值
}
return a;
}3.比较两个大整数变量的大小 (当相减时需要判断二者大小)
//比较两个大bign变量的大小
int cmp(bign a, bign b) {
if (a.len > b.len) return 1;
else if(a.len < b.len) return -1;
else {
for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--) {
if (a.d[i] > b.d[i]) return 1; //只要有一位a大则a大
else if (a.d[i] < b.d[i]) return -1; //只要有一位a小则a小
}
return 0; //两数相等
}
}4.大整数的输出
void print(bign a) { //输出bign
for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--) {
printf("%d", a.d[i]);
}
printf("\n");
}5.高精度加法
以147 + 65 为例，下面来回顾一下小学时候是怎么学习两个整数相加的
① 7 + 5 = 12，取个位数2作为该位的结果，取十位数1进位
② 4 + 6 = 10，加上进位1为11,取个位数1作为该位的结果，取十位数1进位
③ 1 + 0 = 1， 加上进位1为2,取个位数2作为该位的结果，由于十位数为0因此不进位
由此可以归纳：将该位置上的两个数字相加，得到的结果取个位数作为该位结果，取十位作为新的进位，高精度加法的做法与次完全相同，可以来看实现的代码
//高精度加法
bign add(bign a, bign b) {
bign c;
int carry = 0;//进位
for (int i = 0; i < a.len || i < b.len; i++) {
int temp = a.d[i] + b.d[i] + carry; //两个对应进位相加
c.d[c.len++] = temp % 10; //个位数为该位结果
carry = temp / 10; //十位数为新进的位
}
if (carry != 0) { //如果最后进位不为0，则直接赋值给结果的最高位
c.d[c.len++] = carry;
}
return c;
}6.高精度减法
以145 - 67 为例，再来回顾一下小学时候是如何学习两个整数相减的
① 5 - 7 < 0， 不够减，因此从高位4借1，于是4减1变成3,该位结果为15 - 7 = 8
② 3 - 6 < 0, 不够减，因此继续从高位1借1，于是1减1变成1,该位结果变为13 - 6 = 7
③ 上面和下面均为0，结束计算
由此可以归纳：从低位开始比较被减位和减位，如果不够减，则令被减位的高位减1,被减位加10再进行减法，如果够减则直接减，最后一步注意高位后可能有多余的0，要忽视它们，但也要保证结果至少有一位数。代码实现如下
//高精度减法
bign sub(bign a, bign b) { // a - b
bign c;
for (int i = 0; i < a.len || i < b.len; i++) { //以较长的为界限
if (a.d[i] < b.d[i]) { //如果不够减
a.d[i + 1]--; //向高位借位
a.d[i] += 10; //当前位置加10
}
c.d[c.len++] = a.d[i] - b.d[i]; //减法结果为当前位结果
}
while (c.len - 1 >= 1 && c.d[c.len - 1] == 0) {
c.len--; //去除高位的0，同时至少保留一位最低位
}
return c;
}7.高精度与低精度的乘法
我们以147 * 35 为例
① 7 * 35 = 245，取个位数5作为该位结果，高位部分24作为进位
② 4 * 35 = 140， 加上进位24 得164， 取个位数字4为该位结果，高位部分16作为进位
③ 1 * 35 = 35， 加上进位16得51， 取个位数1为该位结果，高位部分5作为进位
由此可以归纳：依旧是从低位开始，对应位置相乘，相乘后的结果的个位作为当前位置的结果，高位部分作为新的进位（乘法进位可能不只一位）代码如下
//高精度与低精度的乘法
bign multi(bign a, int b) {
bign c;
int carry = 0; //进位
for (int i = 0; i < a.len; i++) {
int temp = a.d[i] * b + carry;
c.d[c.len++] = temp % 10; //个位作为该位结果
carry = temp / 10; //高位部分作为新的进位
}
while (carry != 0) { //和加法不一样， 乘法的进位可能不止一位，因此用while
c.d[c.len++] = carry % 10;
carry /= 10;
}
return c;
}8.高精度与低精度的除法
我们以1234 / 7 为例：
① 1 与 7 比较， 不够除，因此该位商为0，余数为1
② 余数1与新位2组合成12， 12 与7 比较，够除，商为1，余数为5
③ 余数5与新位3组合成53， 53与7比较， 够除， 商为7， 余数为4
④ 余数4与新位4组合成44, 44 与7比较， 够除， 商为6， 余数为2
由此可以归纳：上一步得余数*10加上该步的位，得到该步临时的被除数，将其与除数进行比较：如果不够除，则该位的商为0; 如果够除，则商即为对应的商，余数即为对应的余数，最后一步要注意高位可能有多余的0，要忽视它们但也要保证结果至少有一位数
代码如下
//高精度与低精度的除法
bign divide(bign a, int b, int& r) {
bign c;
c.len = a.len; //被除数的每一位和商的每一位是一一对应的，因此先令长度相等
for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--) {
r = r * 10 + a.d[i];
if (r < b) c.d[i] = 0; //不够除，该位为0
else {
c.d[i] = r / b; //商
r = r % b; //获得新的余数
}
}
while (c.len - 1 >= 1 && c.d[c.len - 1] == 0) {
c.len--; //去除最高位的0,同时保留最低位
}
return c;
}
9.完整代码
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
using namespace std;
//大整数结构体
struct bign {
int d[1000];
int len;
bign() {//初始化结构体
memset(d, 0, sizeof(d));
len = 0;
}
};
//输入大整数
bign change(char str[]) { //将整数转换为bign
bign a;
a.len = strlen(str);
for (int i = 0; i < a.len; i++) {
a.d[i] = str[a.len - 1 - i] - '0';//逆序赋值
}
return a;
}
//比较两个大bign变量的大小
int cmp(bign a, bign b) {
if (a.len > b.len) return 1;
else if (a.len < b.len) return -1;
else {
for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--) {
if (a.d[i] > b.d[i]) return 1;//只要有一位a大则a大
else if (a.d[i] < b.d[i]) return -1;//只要有一位a小则a小
}
return 0;//两数相等
}
}
void print(bign a) { //输出bign
for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--) {
printf("%d", a.d[i]);
}
printf("\n");
}
//高精度加法
bign add(bign a, bign b) {
bign c;
int carry = 0;//进位
for (int i = 0; i < a.len || i < b.len; i++) {
int temp = a.d[i] + b.d[i] + carry;//两个对应进位相加
c.d[c.len++] = temp % 10;//个位数为该位结果
carry = temp / 10;//十位数为新进的位
}
if (carry != 0) {//如果最后进位不为0，则直接赋值给结果的最高位
c.d[c.len++] = carry;
}
return c;
}
//高精度减法
bign sub(bign a, bign b) { // a - b
bign c;
for (int i = 0; i < a.len || i < b.len; i++) { //以较长的为界限
if (a.d[i] < b.d[i]) { //如果不够减
a.d[i + 1]--; //向高位借位
a.d[i] += 10; //当前位置加10
}
c.d[c.len++] = a.d[i] - b.d[i]; //减法结果为当前位结果
}
while (c.len - 1 >= 1 && c.d[c.len - 1] == 0) {
c.len--; //去除高位的0，同时至少保留一位最低位
}
return c;
}
//高精度与低精度的乘法
bign multi(bign a, int b) {
bign c;
int carry = 0; //进位
for (int i = 0; i < a.len; i++) {
int temp = a.d[i] * b + carry;
c.d[c.len++] = temp % 10; //个位作为该位结果
carry = temp / 10; //高位部分作为新的进位
}
while (carry != 0) { //和加法不一样， 乘法的进位可能不止一位，因此用while
c.d[c.len++] = carry % 10;
carry /= 10;
}
return c;
}
//高精度与低精度的除法
bign divide(bign a, int b, int &r) {
bign c;
c.len = a.len; //被除数的每一位和商的每一位是一一对应的，因此先令长度相等
for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--) {
r = r * 10 + a.d[i];
if (r < b) c.d[i] = 0; //不够除，该位为0
else {
c.d[i] = r / b; //商
r = r % b; //获得新的余数
}
}
while (c.len - 1 >= 1 && c.d[c.len - 1] == 0) {
c.len--; //去除最高位的0,同时保留最低位
}
return c;
}
int main() {
char str1[1000], str2[1000];
printf("请输入两个字符串：");
scanf("%s%s", str1, str2);
bign a = change(str1);
bign b = change(str2);
printf("高精度相加:");
print(add(a, b));
printf("高精度相减:");
if (cmp(a, b) == -1) {
printf("-");
print(sub(b, a));
}
else
print(sub(a, b));
bign x = change(str1);
int y = atoi(str2); //字符串转int
printf("高精度与低精度相乘:"); print(multi(x, y));
int r;
printf("高精度与低精度相除:"); print(divide(x, y, r));
printf("余数：%d", r);
return 0;
} 