前缀和算法

描述：

前缀和是一种预处理，在之后的计算中直接应用前面已经算出的结果。

例题

题目链接
有数字1-n，然后m个l，r查询，构造一个序列，使得查询的区间和的和最大值；
输出和。

思路：差分前缀和求出每个数字被查询的次数，然后sort排序，一次赋值n到1，最大的对应n

#include
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using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;

//差分前缀和算法
ll vis[maxn], cnt[maxn];
int main(){
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    int l ,r;

	//差分前缀和处理
    for(int i = 0; i < m; i++){
        scanf("%d%d", &l, &r);
        vis[r+1]-=1;
        vis[l]+=1;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        vis[i]+= vis[i-1];
    }
    ll sum = 0;
    sort(vis+1, vis+n+1);
    for(int i = n; i > 0;i--){
        sum+=i*vis[i];
    }
    printf("%lld\n", sum);

    return 0;
}

一维前缀和：

s[i] = a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n]

二维前缀和

s[i][j] = a[i’][j’]的和（1<=i’<=i, 1<=j’<=j）
有一点像“矩阵的面积”那样，把一整块区域的值都加起来。

前缀和用途

参考博客1
参考博客2
一般用来求前缀和
一维：给出n个数的序列，要求回答m次询问，每次询问下标l到r的和。

1. 朴素做法：每次都执行加和操作，输出结果，显然会超时。
2. 超时的原因：重复计算。
3. 改进方法：提前算好了每个位置的前缀和，然后用s[r] - s[l]，结果即为询问的答案。
   ——这样使得计算量大大减少，二维也是如此。
   
   

用差分实现前缀和：

给定一个长度为n的数列a，要求支持操作add(l ,r, val)，表示对a[l]~a[r]的每个数加上val，并求修改之后的序列。

1. 暴力显然超时；
2. 考虑差分做法。辅助数组c，记录某个位置上的总改变量；
3. c[i]表示i~n这些元素都加上c[i]这个数；
4. 对[l, r]区间进行加值操作，在c[l]处加val，在c[r+1]处减val即可维护；
5. 最后第i个位置改变了多少，只需要求一下c前缀和即可

对于二维：

参考博客
对于二维的情况，一个n*m的矩阵，要求支持操作add(x1,y1,x2,y2,a)，
表示对于以(x1,y1)为左下角，
(x2,y2)为右上角的矩形区域，
每个元素都加上a。
要求修改后的矩阵。

做法和一维类似：

1. 用数组c存储总改变量
2. 在c[x1][y1]处加上a，
3. 在c[x2+1][y1]和c[x1][y2+1]处减a，
4. 在c[x2+1][y2+1]再加上a。
5. 最后(i,j)位置上的数值就是c数组在(i,j)位置的前缀和。