Trie树(字典树)从入门到精通
作者：hsez_yyh
链接： https://blog.csdn.net/yyh_getAC/article/details/125791269
来源：湖北省黄石二中信息竞赛组
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Trie树，也叫字典树，字母树，单词查找树或键树，其实为一类前缀树。为什么叫它字典树呢？顾名思义，其拥有像字典一样的功能，通过trie树，我们能像查字典一样快速查阅许多信息。相信很多人以前会觉得在用度娘查英语单词时，你打到一半就会发现想查的单词弹出来，在学 trie树 之前，本蒟蒻一直觉得那是一件神奇的事情，肯定有复杂的算法，但是，学了 trie树 后，你会发现，那个其实挺简单的。
trie树 常用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串，后面可持久化时就清楚了），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。trie树 的优点是什么呢？ 很显然，那就是速度快、方便查询、代码简单 。下面我们来看一棵 trie树 ：
以上就是一棵只包含小写字母的 trie树。 其中每个节点之间的边上的小写字母是我们储存单词的信息，每次查询，我们就可以沿着树边向下搜索，这样就能查询树中储存的信息，比如说，上树中我们从树根沿最右边的一条边查询，一直到达叶子结点，就能得到 ljzfw 这个信息，当然这个信息储存的过程后面会讲。 实际上，我们代码实现的 trie树 跟上图的树长得不太一样，但是大概的树形还是一样的，在代码实现中图中的字母更像是打在节点上，而不是树边上，而且代码实现的 trie树 一般不会特意去写一个根节点。值得一提的是，图中 trie树 上节点里的数字一般无特殊含义，对我们的 trie树 也无太大影响，每个节点的数值是由向树中插入单词的顺序决定的，而且数值只是像一个指针一样方便我们跳转到 trie树 中的下一个节点，所以一般是乱序的，没有什么影响。
于上图，我们将 1号节点认为是根，那么我们的一种可能的单词插入的顺序是： ai、aky、ljh、lzjfw、akhy、akha 。不知道各位大佬看到这组数据再对比上图是否有什么感触。当初 ljz 大佬看到插入单词和插入完单词的 trie树 后直接开悟，然后自己推出了 trie树 模板，在我还在看别人写的代码时，他就已经A掉三四道 trie树的题了(直到他遇上了可持久化)。好吧，我们还是手模一下单词的插入过程，假如我们要按顺序插入 aky、akhy这两个单词，请看图：
以上就是我们 trie树插入单词的过程，大家尽量的理解，数据结构这种东西非常抽象，就凭概念去想很难理解，最好的方法还是手模一下，配合着代码我们就很好理解啦—— ljz表示不屑。
现在我们就给出 trie树 插入单词的代码：
string s;
int idx;//就是之前图里动态开点时的编号
void push_in()
{
int p=0;//p开始指向“根”
//输入省略，在主函数里
int len=s.size();
for(int i=0;i以上就是实现代码，对照之前插入单词的方式手摸一下，很快就能理解的
现在我们先来看道简单题目 ： [NOI2000] 单词查找树 - 洛谷
很显然这是一道trie树的模板题，我们只需要插入单词，然后把节点数返回一下即可(记得加上根，虽然根是虚节点)。 下面是代码：
#include
using namespace std;
const int N=5e4+10;
int son[N][27],cnt[N],idx;
string s;
int n;
void push_in()
{
int p=0;
int len=s.size();
for(int i=0;i>s)
push_in();
printf("%d\n",idx+1);
return 0;
} 上面这道题是不是so easy？ 那好，我们再来一道简单题：于是他错误的点名开始了 - 洛谷
好吧，很显然，这又是一道板子题，好吧，那我们再来水一发：
#include
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int son[N][27],cnt[N];
bool st[N];
int n,m,idx;
string s;
void push_in()
{
int p=0;
int len=s.size();
for(int i=0;i>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>s;
push_in();
}
cin>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>s;
get_ans();
}
return 0;
} 恭喜，到现在，你已经成功入门了！！ Orz~
既然要精通，那我们再来看一道稍微难一点点的题： 最长异或路径 - 洛谷
这道题乍一看是真的想不到和 trie树 有什么关系，本蒟蒻第一次看到这道题，就直接往树剖、lct上想了，没想到竟是个 trie树的题。首先我们要从异或入手：对于两个数，我们把它化成二进制的形式，那么这两个数的异或就是对应二进制位上的数进行异或 ，因为 1^1==0 , 0^1==1, 0^0 ==0 ;我们可以发现，只要某位上有两个相同的数进行异或，那么结果肯定是 0 ；我们为了让某条路径的异或和最大，那我们首先就要保证所有的数异或后得到的二进制数的最高位最大：0111显然小于1000 ，所以，我们可以构建一棵 0,1, trie树，用来存储每条边的权值转化成二进制数的形式，然后，我们从根节点出发，每次对于我们当前位的 trie树 ，分两个方向跑，一个按我们的原来的边跑，一个按相反的方向跑，就是说第二个方向：如果当前 节点的子节点中有与原边当前二进制位上的数(0或1)相反的节点的话，就往相反的节点跑，如果实在没有，就往相同数值(0或1)的节点上跑。这样跑到底就能得到最大值啦。当然，在跑之前要预处理一下。这样的抽象着讲不易理解，看看代码实现就能轻松理解啦：
#include
using namespace std;
const int N=2e6+10,M=1e5+10;
int son[N][3],cnt[N],idx;
int n;
vector g[M],d[M];
int dist[M];
void dfs(int root,int fa,int ss)
{
int len=g[root].size();
for(int i=0;i0;i>>=1)
{
if(v&i)
u=1;
else
u=0;
if(!son[p][u])
son[p][u]=++idx;
p=son[p][u];
}
cnt[p]++;
}
long long get_max(int v)
{
int p=0;
int op=0;
int u=0;
for(int i=(1<<30);i>0;i>>=1)
{
if(v&i)
u=1;
else
u=0;
if(son[p][u^1])
{
op=op+i;
p=son[p][u^1];
}
else
p=son[p][u];
}
return op;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i 好吧，这道题其实就是锻炼 trie树思维的，而且此题能让我们认识到 trie树的新的用途：构造成二进制下的 01trie树 ，这样就能轻松解决 异或 问题啦。
为了提升自己，下面推荐几道 trie树比较好的题目：
[USACO08DEC]Secret Message G - 洛谷
[USACO12DEC]First! G - 洛谷
[JSOI2009] 电子字典 - 洛谷
机房大佬 ljz 说这些题简单爆了(逃)，一定要先做题再看下面内容。
希望你能从那几道题中成功来到这里，下面我们就再介绍一下 trie树 的神奇功能——可持久化。
没想到吧，trie树也可以持久化：我们回忆一下之前 trie树的插入操作。我们插入一个aky和akhy，发现，其中在插入akhy时，前两个字母我们根本不需要再开辟新的节点，直接在之前有的节点的基础上跑就行了。好好想想看，在原有的基础，这个原有的基础肯定存在于某个历史的版本，而我们从一个历史版本到当前版本，是有些节点不用改变或新建的——我们新插入单词所新增的节点只是这个单词路径上的节点(还不包括原来有的)，所以，每次我们插入一个单词所要改变的trie树的形态而新建的节点数是非常少的，而且当前版本的 trie树跟历史版本的 trie树 也是有许多部分是重合的。这些显然都满足我们可持久化数据结构的性质。 下面看一个图：
现在问题来了，如果我们要求第l~r次插入的字符串，该怎么去查询呢？ 可以参考 主席树的做法 我们从第r次插入字符串得到的版本开始遍历，然后我们对于每个叶子节点，引入一个新的数组 ver[N]，对于某个叶子节点，其ver值代表其是第几次插入的，而非叶子节点的ver值则储存其所在子树中ver值得最大值，在访问时，一旦有节点得ver值< l 得话，那么其子树中所有得节点肯定是在第 l 次插入之前插入的(这里得思想有点近似于线段树)，那么我们直接返回就好，就不用继续查询了，而我们的ver值可以在新字符串插入时沿途更新，非常那方便的。下面是可持久化 trie树的插入操作代码：
void push_in(int t,int len,int pre,int now)
{
if(len>=strlen(s[t]))
{
ver[now]=t;
return;
}
int ch=s[t][len]-'a'+1;
if(pre)
{
for(int i=1;i<=26;i++)
son[now][i]=son[pre][i];//复制上一个节点
}
son[now][ch]=++tot;
push_in(t,len+1,son[pre][ch],son[now][ch]);
for(int i=1;i<=26;i++)
ver[now]=max(ver[son[now][i]],ver[now]);
}
还是非常之简单的
其实，可持久化 trie树的经典应用还是在 01trie树上，我们就来看到例题：
P4735 最大异或和 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
其实也很简单 ，我们按照上面的可持久化插入法，综合上述的最长异或路径这道题(没做的赶快去做)，构建一棵 可持久化01trie树。然后参照最长异或路径那道题的思想：如果同一位上的存在不同的数，那么异或原理贪心选择不同的路径，不然只能选择相同的路径，那么这条路径就是最大值。然后直接暴力跑完每一个版本的 01trie树即可：
#include
using namespace std;
const int N=6e5+10;
int tr[N*25][2],a[N*25];
int n,m,idx;
int rt[N],s[N];
void insert(int pos,int pre,int ner)
{
a[ner]=pos;
for(int i=23;i>=0;i--)
{
int val=s[pos]>>i&1;
if(pre)tr[ner][val^1]=tr[pre][val^1];
tr[ner][val]=++idx;
a[tr[ner][val]]=pos;
ner=tr[ner][val];
pre=tr[pre][val];
}
}
int query(int pos,int l, int u)
{
for(int i=23;i>=0;i--)
{
int val=u>>i&1;
if(a[tr[pos][val^1]]>=l) pos=tr[pos][val^1];
else pos=tr[pos][val];
}
return u^s[a[pos]];
}
int main()
{
a[0]=-1;
rt[0]=++idx;
insert(0,0,rt[0]);
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int xx;
scanf("%d",&xx);
rt[i]=++idx;
s[i]=s[i-1]^xx;
insert(i,rt[i-1],rt[i]);
}
char op[5];
while(m--)
{
scanf("%s",op);
if(op[0]=='A')
{
int xx;
scanf("%d",&xx);
n++;
rt[n]=++idx;
s[n]=s[n-1]^xx;
insert(n,rt[n-1],rt[n]);
}
else
{
int l,r,xx;
scanf("%d %d %d",&l,&r,&xx);
printf("%d\n",query(rt[r-1],l-1,s[n]^xx));
}
}
return 0;
} 好了，trie树的一些基本的知识我们就介绍到这了，你现在也基本上掌握了 trie树的一些巧妙功能，可以去爆切水题了！！！ 当然，某些 trie树的玄学优化有兴趣的可以自行翻阅资料，本蒟蒻一概运气不好，就不信什么玄学了。
为了能让大家有更好的 trie 树体验，在此推荐几道水题：P5283 [十二省联考 2019] 异或粽子 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
[TJOI2018]异或 - 洛谷
[SCOI2016]美味 - 洛谷
加油A掉这几道题你就是最棒的啦！！！