FMCW系统性能参数之测量精度公式推导

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【正文】

连续多篇文章都在说FMCW雷达系统性能参数这个事儿,如:

(1)从奈奎斯特采样定理推导FMCW雷达系统性能参数
(2)从FMCW毫米波雷达系统的性能参数理解4D成像毫米波雷达的设计思路
(3)雷达入门 | FMCW毫米波雷达系统的性能参数分析

因为目标检测与参数估计这些是雷达系统的“第一性原理的第二个层次”,所以需要搞得清清楚楚,明明白白的。关于雷达的“第一性原理的第一个层次”,我认为是电磁场与电磁波(麦克斯韦方程组)、天线等,这才是雷达的真正源头与底层逻辑。无论是日常的科学研究,还是将来的找工作,我想这些基本的理论,是会经常被遇到的。

之前在(3)文章中提到过FMCW雷达系统性能参数的简要介绍,其中关于距离、速度和角度的测量精度直接给出了公式,缺乏详细的推导过程,正好之前在【雷达技术交流群】中有读者提到过,于是我觉得有必要分享。

下面来看看详细的过程,首先给出结论,需要注意的是本文仅针对的雷达体制是FMCW雷达,而不是脉冲雷达,虽然文章的末尾会给出不同波形的介绍。注意复信号和实信号的信噪比计算。

测距精度:

σ R = c 3.6 B 2 S N R \sigma_R=\frac{c}{3.6 B \sqrt{2 S N R}} σR=3.6B2SNR c

测速精度:

σ v = λ 3.6 N T c S N R \sigma_v=\frac{\lambda}{3.6 N T_c \sqrt{S N R}} σv=3.6NTcSNR λ

测角精度:

σ θ = θ 3 d B 1.6 2 S N R \sigma_\theta=\frac{\theta_{3 d B}}{1.6 \sqrt{2 S N R}} σθ=1.62SNR θ3dB

要得到公式的推导,需要参考比较老的文献,其中一本书是丁鹭飞的《雷达系统》,是1984年的出版的;另一本是李蕴滋的《雷达工程学》,这本书可以说比较适合入门了。其中,前一本书有详细的证明过程,后一本书直接给出了结论,所以我推荐先看后面一本,然后再去看详细的过程。

这里就直接看丁鹭飞的《雷达系统》了,具体在第二章的雷达测量精度和分辨率。这本书可以在网上购买旧版的,价格也不贵,电子版在会员资料库中。
FMCW系统性能参数之测量精度公式推导_第1张图片

其中,在2.1小节就提到了最大似然估计法,这个方法用于雷达系统对目标进行参数估计,之前有读者提到距离估计所做的距离维FFT在某种程度上可以看作是最大似然估计,其实我现在觉得他说的对,不光是距离,就连速度、角度等估计都是。而今天所要讨论的雷达测量理论精度,就是建立在最大似然估计法上的。

1、测距精度

测距精度其实就是时延估计精度,在丁鹭飞的《雷达系统》一书中,先以脉冲雷达为例,按照最大似然估计法,测距时候首先计算相关积分(脉冲压缩),然后求出最大值出现的时间即为时延估计值。步骤如下:

(1)时延估计

(2)最大似然估计

(3)精度分析

最终经过一系列数学计算,就得到了脉冲雷达下的测距精度,如下所示。

σ R = c 2 1 B 2 S N R \sigma_R=\frac{c}{2} \frac{1}{B \sqrt{2 S N R}} σR=2cB2SNR 1

其中,由于该过程公式复杂,内容繁多,不便于在这里展示,请各位读者详细看书,这里仅是一个引导作用,还请谅解。另外距离估计精度是时间估计精度的系数乘以c/2。

但是这个公式对不同的波形表达不同,比如矩形脉冲、高斯脉冲、辛克波形以及调频连续波。这里对调频连续波进行推导后,得到测距精度为:

σ R = 3 c 2 π B 2 E N 0 \sigma_R=\frac{\sqrt{3} c}{2 \pi B \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}} σR=2πBN02E 3 c

简化之后近似表示为:

σ R = c 3.6 B 2 S N R \sigma_R=\frac{c}{3.6 B \sqrt{2 S N R}} σR=3.6B2SNR c

也可以表示为:

σ R = Δ R 1.8 2 S N R \sigma_R=\frac{\Delta R}{1.8 \sqrt{2 S N R}} σR=1.82SNR ΔR\

也就是说,距离测量理论精度和发射信号波形、测量时得信噪比SNR、信号的带宽(理论距离分辨率、瑞利距离分辨率)有关,带宽越大、信噪比越高,测量精度越高。

2、测速精度

同理,速度测量精度主要是估计多普勒频移,也就是说速度测量精度,可以等效为多普勒频率的估计精度,多普勒频率估计精度与测速精度的系数是半波长。推导的方法和步骤与距离测量精度基本一样,具体过程也是非常繁杂,需要详细看书。

这里给出最终估计的速度误差(精度)表示为:

σ v = λ 2 π T e 2 E N 0 = λ 2 π N T c 2 S N R , T e = N T c \sigma_v=\frac{\lambda}{2 \pi T_e \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}}=\frac{\lambda}{2 \pi N T_c \sqrt{2 S N R}}, T_e=N T_c σv=2πTeN02E λ=2πNTc2SNR λ,Te=NTc

其中Te是信号持续时间,Tc是单Chirp扫频时间,N是表示Chirp数。同样也是不同的波形,测速精度表达方式不一样, 如矩形脉冲、高斯脉冲、辛克波形、线性调频连续波以及相参脉冲串。其他波形看书,这里给出线性调频连续波的最终表达公式如下:

σ v = λ 3 2 π T e 2 E N 0 = λ 3 2 π N T c 2 S N R = λ 3.6 N T c 2 S N R \sigma_v=\frac{\lambda \sqrt{3}}{2 \pi T_e \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}}=\frac{\lambda \sqrt{3}}{2 \pi N T_c \sqrt{2 S N R}}=\frac{\lambda}{3.6 N T_c \sqrt{2 S N R}} σv=2πTeN02E λ3 =2πNTc2SNR λ3 =3.6NTc2SNR λ

也就是说,速度测量理论精度和发射信号波形、测量时得信噪比SNR、信号的持续时间(理论速度分辨率、瑞利速度分辨率)有关,信号总持续时间越长、信噪比越高,测量精度越高。 同时波长越小,精度也越高,这也是77G雷达优于24G雷达的主要优势之一。

另外,还有距离速度联合估计精度,相关内容见书中。

3、测角精度

方法与前面二者大致相同,略有区别。当口面场为等幅度分布时,测角误差可以表示为:

σ θ = λ 3 π D 2 E N 0 \sigma_\theta=\frac{\lambda \sqrt{3}}{\pi D \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}} σθ=πDN02E λ3

可知,测角精度与信噪比和天线的归一化口径D/λ有关,波长降低也能提高测角精度。 一般在3dB波束宽度或者称为半功率点波束宽度,可以得到D/λ的关系为:

θ 3 d B = 0.88 λ D \theta_{3 d B}=0.88 \frac{\lambda}{D} θ3dB=0.88Dλ

推导出:

σ θ = θ 3 d B 3 0.88 π 2 E N 0 \sigma_\theta=\frac{\theta_{3 d B} \sqrt{3}}{0.88 \pi \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}} σθ=0.88πN02E θ3dB3

这个时候得到的测角精度为:

σ θ = θ 3 d B 3 0.88 π 2 E N 0 = θ 3 d B 1.6 2 S N R \sigma_\theta=\frac{\theta_{3 d B} \sqrt{3}}{0.88 \pi \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}}=\frac{\theta_{3 d B}}{1.6 \sqrt{2 S N R}} σθ=0.88πN02E θ3dB3 =1.62SNR θ3dB

所以更加进一步的结论是3dB波束越窄,也就是角度分辨率越低,测角精度越高。因此,无论是测距、测速还是测角,分辨率和信噪比都会影响测量精度的。

本期结束

本文不涉及任何利益,都是空闲时候的个人心得和体会,仅供参考。目前我的工作经验尚浅,还有很多内容需要学习,如果还有没有说到或者不全面的地方,还请指正,感谢大家。

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