FMCW系统性能参数之测量精度公式推导
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【正文】
连续多篇文章都在说FMCW雷达系统性能参数这个事儿，如：
（1）从奈奎斯特采样定理推导FMCW雷达系统性能参数
（2）从FMCW毫米波雷达系统的性能参数理解4D成像毫米波雷达的设计思路
（3）雷达入门 | FMCW毫米波雷达系统的性能参数分析
因为目标检测与参数估计这些是雷达系统的“第一性原理的第二个层次”，所以需要搞得清清楚楚，明明白白的。关于雷达的“第一性原理的第一个层次”，我认为是电磁场与电磁波（麦克斯韦方程组）、天线等，这才是雷达的真正源头与底层逻辑。无论是日常的科学研究，还是将来的找工作，我想这些基本的理论，是会经常被遇到的。
之前在（3）文章中提到过FMCW雷达系统性能参数的简要介绍，其中关于距离、速度和角度的测量精度直接给出了公式，缺乏详细的推导过程，正好之前在【雷达技术交流群】中有读者提到过，于是我觉得有必要分享。
下面来看看详细的过程，首先给出结论，需要注意的是本文仅针对的雷达体制是FMCW雷达，而不是脉冲雷达，虽然文章的末尾会给出不同波形的介绍。注意复信号和实信号的信噪比计算。
测距精度：
σ R = c 3.6 B 2 S N R \sigma_R=\frac{c}{3.6 B \sqrt{2 S N R}} σR=3.6B2SNRc
测速精度：
σ v = λ 3.6 N T c S N R \sigma_v=\frac{\lambda}{3.6 N T_c \sqrt{S N R}} σv=3.6NTcSNRλ
测角精度：
σ θ = θ 3 d B 1.6 2 S N R \sigma_\theta=\frac{\theta_{3 d B}}{1.6 \sqrt{2 S N R}} σθ=1.62SNRθ3dB
要得到公式的推导，需要参考比较老的文献，其中一本书是丁鹭飞的《雷达系统》，是1984年的出版的；另一本是李蕴滋的《雷达工程学》，这本书可以说比较适合入门了。其中，前一本书有详细的证明过程，后一本书直接给出了结论，所以我推荐先看后面一本，然后再去看详细的过程。
这里就直接看丁鹭飞的《雷达系统》了，具体在第二章的雷达测量精度和分辨率。这本书可以在网上购买旧版的，价格也不贵，电子版在会员资料库中。
其中，在2.1小节就提到了最大似然估计法，这个方法用于雷达系统对目标进行参数估计，之前有读者提到距离估计所做的距离维FFT在某种程度上可以看作是最大似然估计，其实我现在觉得他说的对，不光是距离，就连速度、角度等估计都是。而今天所要讨论的雷达测量理论精度，就是建立在最大似然估计法上的。
1、测距精度
测距精度其实就是时延估计精度，在丁鹭飞的《雷达系统》一书中，先以脉冲雷达为例，按照最大似然估计法，测距时候首先计算相关积分（脉冲压缩），然后求出最大值出现的时间即为时延估计值。步骤如下：
（1）时延估计
（2）最大似然估计
（3）精度分析
最终经过一系列数学计算，就得到了脉冲雷达下的测距精度，如下所示。
σ R = c 2 1 B 2 S N R \sigma_R=\frac{c}{2} \frac{1}{B \sqrt{2 S N R}} σR=2cB2SNR1
其中，由于该过程公式复杂，内容繁多，不便于在这里展示，请各位读者详细看书，这里仅是一个引导作用，还请谅解。另外距离估计精度是时间估计精度的系数乘以c/2。
但是这个公式对不同的波形表达不同，比如矩形脉冲、高斯脉冲、辛克波形以及调频连续波。这里对调频连续波进行推导后，得到测距精度为：
σ R = 3 c 2 π B 2 E N 0 \sigma_R=\frac{\sqrt{3} c}{2 \pi B \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}} σR=2πBN02E3c
简化之后近似表示为：
σ R = c 3.6 B 2 S N R \sigma_R=\frac{c}{3.6 B \sqrt{2 S N R}} σR=3.6B2SNRc
也可以表示为：
σ R = Δ R 1.8 2 S N R \sigma_R=\frac{\Delta R}{1.8 \sqrt{2 S N R}} σR=1.82SNRΔR\
也就是说，距离测量理论精度和发射信号波形、测量时得信噪比SNR、信号的带宽（理论距离分辨率、瑞利距离分辨率）有关，带宽越大、信噪比越高，测量精度越高。
2、测速精度
同理，速度测量精度主要是估计多普勒频移，也就是说速度测量精度，可以等效为多普勒频率的估计精度，多普勒频率估计精度与测速精度的系数是半波长。推导的方法和步骤与距离测量精度基本一样，具体过程也是非常繁杂，需要详细看书。
这里给出最终估计的速度误差（精度）表示为：
σ v = λ 2 π T e 2 E N 0 = λ 2 π N T c 2 S N R , T e = N T c \sigma_v=\frac{\lambda}{2 \pi T_e \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}}=\frac{\lambda}{2 \pi N T_c \sqrt{2 S N R}}, T_e=N T_c σv=2πTeN02Eλ=2πNTc2SNRλ,Te=NTc
其中Te是信号持续时间，Tc是单Chirp扫频时间，N是表示Chirp数。同样也是不同的波形，测速精度表达方式不一样， 如矩形脉冲、高斯脉冲、辛克波形、线性调频连续波以及相参脉冲串。其他波形看书，这里给出线性调频连续波的最终表达公式如下：
σ v = λ 3 2 π T e 2 E N 0 = λ 3 2 π N T c 2 S N R = λ 3.6 N T c 2 S N R \sigma_v=\frac{\lambda \sqrt{3}}{2 \pi T_e \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}}=\frac{\lambda \sqrt{3}}{2 \pi N T_c \sqrt{2 S N R}}=\frac{\lambda}{3.6 N T_c \sqrt{2 S N R}} σv=2πTeN02Eλ3=2πNTc2SNRλ3=3.6NTc2SNRλ
也就是说，速度测量理论精度和发射信号波形、测量时得信噪比SNR、信号的持续时间（理论速度分辨率、瑞利速度分辨率）有关，信号总持续时间越长、信噪比越高，测量精度越高。 同时波长越小，精度也越高，这也是77G雷达优于24G雷达的主要优势之一。
另外，还有距离速度联合估计精度，相关内容见书中。
3、测角精度
方法与前面二者大致相同，略有区别。当口面场为等幅度分布时，测角误差可以表示为：
σ θ = λ 3 π D 2 E N 0 \sigma_\theta=\frac{\lambda \sqrt{3}}{\pi D \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}} σθ=πDN02Eλ3
可知，测角精度与信噪比和天线的归一化口径D/λ有关，波长降低也能提高测角精度。 一般在3dB波束宽度或者称为半功率点波束宽度，可以得到D/λ的关系为：
θ 3 d B = 0.88 λ D \theta_{3 d B}=0.88 \frac{\lambda}{D} θ3dB=0.88Dλ
推导出：
σ θ = θ 3 d B 3 0.88 π 2 E N 0 \sigma_\theta=\frac{\theta_{3 d B} \sqrt{3}}{0.88 \pi \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}} σθ=0.88πN02Eθ3dB3
这个时候得到的测角精度为：
σ θ = θ 3 d B 3 0.88 π 2 E N 0 = θ 3 d B 1.6 2 S N R \sigma_\theta=\frac{\theta_{3 d B} \sqrt{3}}{0.88 \pi \sqrt{\frac{2 E}{N_0}}}=\frac{\theta_{3 d B}}{1.6 \sqrt{2 S N R}} σθ=0.88πN02Eθ3dB3=1.62SNRθ3dB
所以更加进一步的结论是3dB波束越窄，也就是角度分辨率越低，测角精度越高。因此，无论是测距、测速还是测角，分辨率和信噪比都会影响测量精度的。
【本期结束】
本文不涉及任何利益，都是空闲时候的个人心得和体会，仅供参考。目前我的工作经验尚浅，还有很多内容需要学习，如果还有没有说到或者不全面的地方，还请指正，感谢大家。