动力气象期末复习笔记

动力气象期末复习笔记

拉格朗日和欧拉观点

• 拉格朗日观点：关注于物质体积元，就关注个别变化
• 欧拉观点：关注空间体积元，关注距地变换
  

大气运动方程

z坐标系下的基本形式

• 由牛二定律出发
• 流体的加速度由气压梯度力，地转偏向力，重力，摩擦力影响
• 大气运动的原动力是：由于气压分布不均匀产生的气压梯度力（热力作用引起）
• 大气运动的能量最终来源是太阳辐射，由于太阳辐射在各纬度上的分布不均匀，产生了气压的分布不均匀，驱动大气运动

尺度分析后的大气运动方程

运动方程零级简化

• 中纬度大尺度运动由尺度分析可知以下特征：

1. 准地转
2. 准水平
3. 准静力平衡
4. 准定常
5. 准水平无辐散
6. 缓慢变化的涡旋运动
   

运动方程的一级简化

• 含有时间的偏导项，可以作为预报方程

平均运动方程（湍流项）

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连续方程

z坐标系下

• 连续方程体现的是质量守恒

拉格朗日观点

• 速度散度>0,辐散，密度减小
• 速度散度<0,辐合，密度增大
• d密度dt = 0 ，为不可压缩流体

欧拉观点

• 质量散度>0,质量减小，局地密度减小
• 质量散度<0,质量增大，局地密度增大
• 偏密度偏t = 0 ，为定常流体
  

p坐标系下

尺度分析后的连续方程

连续方程的零级简化

• 水平无辐散的特征

连续方程的一级简化

• 整层大气是水平无辐散的，因此上层辐散会导致下层辐合

热力学方程

z坐标系下的几种形式

大气运动方程组

z坐标系

• 运动方程
• 连续方程
• 热力学方程
• 状态方程

p坐标系

零级近似方程组

• 揭示了中纬度大尺度的大气运动是准水平，准地转平衡，准静力平衡，准水无辐散，准定常的涡旋运动
  

一级近似方程组

尺度分析

步骤

1. 写出方程中各项的特征值
2. 根据运动的类型写出各项的数量级
3. 保留大项略去小项，得到简化方程组
4. 分析其物理意义，揭示不同类型运动的基本性质和特点

各个物理量的特征值量级

• 速度场的变化尺度可以达到自身量级
• 热力学变量尺度：压强，密度，温度，位温的时空变化值相对本身变化很小，达不到本身量级
• 但是热力学变量随高度的变化尺度可以达到自身量级
• 热力学变量时空扰动变动值可以达到自身量级

运动方程零级简化

• 中纬度大尺度运动由尺度分析可知以下特征：

1. 准地转
2. 准水平
3. 准静力平衡
4. 准定常
5. 准水平无辐散
6. 缓慢变化的涡旋运动
   

运动方程的一级简化

• 含有时间的偏导项，可以作为预报方程

连续方程的零级简化

• 水平无辐散的特征

连续方程的一级简化

• 整层大气是水平无辐散的，因此上层辐散会导致下层辐合

热力学方程的一级简化

• 局地温度的变化由温度平流和垂直运动引起的温度变化引起

位势和位势高度

位势：单位质量空气从海平面上升到高度Z克服重力做功

位势高度：移动到一定位势的高度

性质

• 等位势面处与重力相垂直
• 等位势面和等高度面除了在海平面，其他地方不重合

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地转风

气压梯度力和地转偏向力的平衡时的风

分析

• 由运动方程的零级简化可知，对中纬度天气尺度而言，水平方向是准地转的
  

• 

公式

结论和性质

• 地转风方向平行于等压面
• 北半球，背风而立，低压在左高压在右，南半球相反——由地转偏向力的方向决定
• 地转风风速与水平气压梯度成正比
• 地转风风速与纬度成反比——相同气压梯度，需要的地转偏向力相同，纬度越高只需要更低的速度就可以达到相同的地转偏向力大小，因此是反比
• 等压面上地转风散度为零
• 赤道无地转风
• 除了赤道和极地，自由大气的实际风与地转风很接近，常用地转风代替实际风
• 气压面坡度越大，气压梯度就越大，地转风和等压面坡度也成正比

5.热成风

地转风随高度的改变量称为热成风

分析

• 地转风大小和等压面的坡度成正比
• 由静力学原理，两层等压面的厚度与两层之间的温度成正比
• 当等压面坡度随高度越来越陡，说明随高度地转风风速变大，从而出现了热成风
  

公式

• 上下两层等压面地转风和热成风的关系
  

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• 用平均温度梯度表示热成风
  
  p0,p1：两层的气压
  倒三角T拔：平均温度梯度

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• 实际工作中常分析厚度图，用厚度梯度来表示热成风
  

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结论和性质

• 热成风与平均温度先平行
• 北半球，背热成风而立，低温在左，高温在右
• 热成风大小与平均温度梯度（or平均厚度梯度）成正比，和纬度成反比
• 地转风随高度逆转：冷平流
• 地转风随高度顺转：热平流
  
• 中纬度对流层中，北冷南暖，温度梯度向北，热成风为西风，最终与等温线平行——解释了中纬度高层大气是西风

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6.正压和斜压大气

• 正压大气：等压面和等温度面（等密度面）是平行的，沿等压面没有温度梯度
  
• 斜压大气：等压面与等温度面相交，沿等压面有温度梯度，就有热成风
  
• 因此在斜压大气中，地转风是随高度改变的

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地转偏差

实际风与地转风的向量差，就是地转偏差D

摩擦层的地转偏差

由摩擦力，气压梯度力，地转偏向力 三力平衡

分析

• 摩擦力==>实际风速变小==>地转偏向力减小==>整体速度往气压梯度方向偏==>北半球摩擦力使地转风向左偏移
• 受力分析
  

公式

结论和性质

• 摩擦造成的地转偏差使实际风速比地转风小
• 风速会偏向低压的一侧——北半球摩擦层中低压一般都是逆时针环流，高压是顺时针环流

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自由大气的地转偏差

当气压梯度力和地转偏向力不平衡时产生的地转偏差

地转偏差方向垂直于加速度向左

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D1项

• 与变压（变高）梯度成正比
• 方向和变压（变高）梯度一致
• 由于变压（变高）梯度引起的地转偏差称为变压风
• 根据天气图上的三小时变压线可以定性判断变压风方向
  

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D2项

D2项可以分解成两项，D2n（法向偏差）和D2s（切向偏差）

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D2n法向偏差（等高线的辐合辐散决定）

• 等高线辐合——产生向低压的地转偏差
• 等高线辐散——产生向高压的地转偏差

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D2s切向偏差

• 气旋性环流的地方R>0,D2s为s0的反方向，指向后方
• 反气旋环流的地方R<0,Ds2为s0方向，指向前方

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D3项

• 上升运动的时候ω<0,D3方向为温度梯度方向
• 下沉运动的时候ω>0,D3方向为温度升度方向
  
  气象中的梯度和数学里对梯度的描述是相反的，气象中的梯度定义时就是从高到低，所以跟数学求的梯度查一个负号

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综合D1,D2s,D2n

• 在高层以D2为主
• 低层以D1为主

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环流和环流定理

环流是流体中任取一闭合曲线，流体速度在此曲线上的切向分量的线积分

• 环流的方向：沿积分曲线走，积分区域在左侧为正，右侧为负；注意环流是标量
• 环流大于0，称为气旋式环流
• 环流小于0，称为反气旋环流

绝对环流定理

环流的加速度等于加速度的环流

由绝对运动方程左边的加速度可以推导出绝对环流定理

力管项

最终可以转化为该式

• A为闭合曲线围成的面积，就代表单位面积上的力管数量

万有引力项

万有引力对环流没有影响

摩擦力项

• 摩擦力总是使环流减弱

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相对环流定理

惯性项

• 惯性项中A就是环流围住的面积，因此相同纬度下，环流围成的面积越大环流越小
• 也就是环流和辐合辐散运动有关，也跟纬度有关
  

影响相对环流强弱的物理因子

• 摩擦力：摩擦总是使环流减弱
• 大气的斜压性：力管项
• 水平的辐合辐散：惯性项
• 气团的南北运动：惯性项

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解释海陆风

• 由于陆地的海洋的比热不同，导致等比容线和等压线不重合，造成了大气的斜压，就会产生环流

简单判断：哪里热，哪里就上升，另一边下降，构成环流

理论判断：根据压力梯度和比容梯度来得出环流方向

• 画出等压面和等容面，找到两者的梯度，然后用右手螺旋定则，从气压梯度转向比容梯度方向，手旋转的方向就是环流的方向，往哪转就是风往哪吹
• 上式中叉乘方向是从比容梯度向压力梯度转，由于有个负号还要把手转过来，但结果是一样的
  

揭示的性质

• 力管项存在的充要条件是大气的斜压性，就是等压面和等容面/等温面不重合，两者相交的地方可以构成一个个管子一样的，称为力管
• 斜压性使热空气上升，冷空气下降，大气自身有趋于稳定的趋势
• 大气的斜压性不会无限增长，由于有摩擦力的作用，且摩擦力随着环流的加强而加强，最后总会与力管的作用相互抵消形成一个稳定的环流

涡度和涡度方程

涡度定义

• 涡度的表达就是哈密顿算符叉乘速度

• 绝对涡度 = 相对涡度+牵连涡度

• 自然坐标系下的相对涡度
  

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环流与涡度的关系

• 环流等于围成面积上涡度法向分量的积分
• 涡度再n方向的分量就等于单位面积上的环流

涡度	环流
流体旋转程度的微观表达	流体旋转程度的宏观表达
涡度是欧拉观点	环流是拉格朗日观点
涡度是矢量	环流是标量

涡度方程

公式

• 局地涡度变化由这几项影响：

1. 绝对涡度平流
2. 绝对涡度散度
3. 倾侧项
4. 力管项
5. 摩擦项
   

• 将其展开后，得到如下项

1. 相对涡度水平平流项
2. 相对涡度对流项
3. 牵连涡度平流项（beta效应项）
4. 倾侧项
5. 力管项
6. 摩擦项
   

相对涡度平流项

• 表示气流在水平方向上相对涡度分布不均匀
• 当沿气流方向相对涡度减小，则有正相对涡度产生，如槽上正相对涡度最大，槽前就有正相对涡度平流
• 当沿气流方向相对涡度增加，则有负相对涡度产生，如脊上负相对涡度最大，脊前就有负相对涡度平流

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地转涡度平流项/β效应项

• 地转参数f随纬度变化而变化，因此y方向的f分布不均导致
• 吹南风时，f变大，造成局地涡度减小
• 吹北风时，f变小，造成局地涡度增大

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涡度垂直输送项

• 当相对涡度随高度减小，且有上升运动时局地涡度增加；下沉则减少
• 当相对涡度随高度增加，有上升运动时候局地涡度减小；下沉则增加

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力管项

在斜压大气中，风随高度变化，同时垂直速度在水平方向上分布不均，使得绕水平轴旋转的空气块发生倾斜，在垂直方向上有涡度的变化

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散度项

相对涡度*水平散度

• 与当前的涡度情况和散度情况都有关
• 当前是气旋性涡度：
  1. 水平辐散：使气旋性涡度减小
  2. 水平辐合：使气旋性涡度增加
• 当前是反气旋性涡度：
  1. 水平辐散：使反气旋性涡度减小
  2. 水平辐合：使反气旋性涡度增加
  注意在反气旋中用同样的方法分析时，因为反气旋本身涡度是负的，因此水平辐散时候数值增加，（如从-5到-2），虽然数字增加了，但反气旋涡度是减小的，对于反气旋数字越小则反气旋涡度越大

综上：相对涡度*水平散度项：辐散——都减弱，辐合——都加强

倾侧项

• 由于垂直速度在水平方向的分布不均匀或水平速度在垂直方向的分布不均造成
  

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涡度方程的尺度分析

涡度方程经过尺度分析后，得到的结论是：

绝对涡度的变化由：水平辐合辐散，beta效应引起

• 辐散的时候反气旋加强，气旋减弱
• 辐合的时候反气旋减弱，气旋加强
• 北半球向北运动涡度减小，向南运动涡度加强

位势涡度

• 只要带上位势，就是考虑了热力学的影响
• 因此位势涡度是同时考虑了大气的热力和动力状态的

表达式

位涡方程

位涡守恒

• 绝热无摩擦，方程中的F与Q就为0，于是位涡的变化量为0，位涡守恒
• 由于绝热过程中，两高度间的位温差是守恒的，因此位涡守恒其实是涡度强度与厚度之比的度量

用位涡解释气流过山

1. 假设初始时是平直的西风气流，涡度为0
2. 上山的时候由于气柱高度减小，涡度需要减小，刚开始地转涡度不变，相对涡度减小，因此会产生负涡度，气流开始顺时针向南转
3. 到达山顶的时候气柱高度是最小的，之后下山，气柱高度开始增大
4. 气柱高度增大，涡度也要增大，这时候负涡度开始变成正涡度，但是还有向南的速度，因此f还在减小
5. 气柱高度恢复上山前，但此时气柱位于上山前的南侧，f0,气柱将向北走
6. 之后就开始了罗斯贝波了
   

大气行星边界层

流体的两个状态

• 湍流：非常不规则，随机的
• 层流：相对均匀

边界层

定义：流体与刚性边界之间形成一个运动性质与流体内部不同的区域，称为边界层

• 特征：
  1. 几何学：横向远大于纵向
  2. 垂直方向上的动量分布不均匀
  3. 粘性力很重要
• 层流边界层：分子粘性力
• 湍流边界层：湍流粘性力

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大气行星边界层：

• 这一层受地表影响显著，运动具有湍流性
• 湍流引起了：热量，水汽，动量之间的输送

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地表的特征

• 边界层风的垂直切边强
• 地表非均匀加热作用强
• 低层大气温度垂直梯度大
• 地表热力性质不一样

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大气边界层特性

• 受地表影响，大气边界层是湍流边界层
• 大气边界层高度占整个大气的1/10
• 湍流粘性力随高度减小
• 地转偏向力随高度增加
• 近地面层气象要素的日变化大
• 近地层中气象要素的垂直梯度大，垂直输送远大于水平输送
• 近地面层湍流暖性力远远大于地转偏向力
• 离地面更近的，离地表几厘米的地方，是贴地层，考虑的又是分子粘性力，是层流
• Ekman层：地转偏向力与湍流粘性力影响差不多

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大气边界层的作用

• 湍流的混合作用使地面的热量和水汽向上输送，使动量向地球表面输送
• 高层动量输送到低层，补偿因为下垫面不光滑造成的动量摩擦耗散，几乎消耗大气动能一半左右
• 大量的热能从大气边界层传输至自由大气
• 水汽通过大气边界层传输
  大气边界层是整个大气主要的热源，水汽源，动量汇

地面分层

贴地层

• 几厘米
• 无湍流，分子粘性力更重要
• 温度垂直梯度很大，1mm温度变化可达10度

近地面层

• 80-100m
• 湍流运动十分剧烈
• 主要以湍流粘性力和水平气压梯度力为主，地转偏向力忽略不计
• 物理量的垂直输送几乎不随高度变化——常值通量层
• 地气相互作用强烈

Ekman层

• 1—1.5km
• 地转偏向力i和湍流粘性力相当，三力平衡，（摩擦力，气压梯度力，地转偏向力）
• 物理量输送以垂直输送为主

自由大气

• 准地转

• 受行星边界层顶垂直运动的影响
  

• 如果高低空都是低压：湍流粘性力使边界层的气旋加强，产生上升运动到自由大气，自由大气因此辐散，自由大气的气旋就会减弱，就不会让边界层的气旋无限增强

• 如果高空反气旋，地面气旋

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大气的湍流运动与平均运动方程

做平均

• 湍流是随机的，但是平均运动是有规律的
• 把每个瞬时物理量看作平均值+-一个扰动
• 物理量=平均量+脉动量
• 平均量可以对时间，空间，时间+空间取平均
• 一般选取时间平均，容易通过假设检验
  

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平均运动方程步骤

1. 将瞬时值写成平均+扰动量
2. 带入到原本的方程
3. 对整个方程求平均
4. 整理

常用关系式

• 平均的平均还是平均
• 扰动的平均（距平的平均）是0
• 和的平均=平均的和
• 平均和脉动量的乘积=0
• 导数的平均=平均的导数
  

平均的连续方程

• 对于连续方程，平均量带进去方程依旧满足
  

• 最终可以得到这个式子
  

扰动量的连续方程

平均的运动方程

• 用上述步骤对方程进行平均后发现：多出来了扰动项，与扰动项的二次乘积有关，是湍流粘性力，其他的量和原始的运动方程相比使用了平均量
  

对扰动项的二次乘积的处理

• 与扰动的平均方程结合
• 最终二次乘积项转化为
  

涡度通量密度

• 定量地表示湍流对某一物理属性输送的强度

• 密度乘以速度就是单位时间内通过单位面积的质量，再乘一个速度就是mv就是动量

• 所以实质是湍流对动量输送的结果

• 脉动垂直运动引起的x方向脉动栋动量垂直输送——垂直运动引起水平方向的动量变化
  

• 第一个下标是作用的应力的方向，如果是z就表示应力方向是自下而上的z轴方向

• 第二个下标是湍流应力在哪个方向的分量，（引起哪个方向动量的变化）

• 不加负号方向跟那个方向坐标轴正方向相同

• 最终在各个面上的湍流通量和气压梯度力中的推导类似

• 和气压梯度力的差别：每个面上的湍流通量和三个方向上的动量输送都有关，而气压梯度力那个方向上的分量只跟这个方向有关

• 最终得出完整的运动平均方程
  

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对脉动运动方程进行简化

• 水平脉动速度引起的湍流粘性力较小，可以忽略
• 铅直方向上的湍流应力远小于重力，可以忽略
• 因此只剩下铅直方向的应力在水平方向的湍流应力随高度的变化项

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状态平均方程

热力学方程

水汽方程

平均运动方程组

• 多了脉动项，是不闭合的

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参数化

• 将脉动量的二次乘积项表达为平均运动量的函数
• 就是用已知的东西表示未知量——方程就闭合了

普朗特混合长理论

• 普朗特假设：类比分子在自由程中属性守恒，碰到别的分子后属性才发生改变，他假设湍流运动也是，经过混合长之后湍涡属性才发生改变

• 混合长：湍涡在运动过程中失去其原有属性前所走过的最长距离

• 脉动的产生是不同湍涡之间的交换

• 湍涡的性质是其周围介质性质的平均

• 在混合长的距离内物理属性守恒

• 首先是处于(z-l)高度的属性移动到z高度的时候，z高度的属性会受到(z-l)高度上来的湍涡的脉动，就有如下关系
  

• 之后运用泰勒展开，舍去高阶项，这样脉动项就可以用原本的物理属性进行表示了

• 将湍流通量密度中的脉动项用上述式子中的进行代换

• 若只讨论中性层结下湍流对动量的输送，湍流的水平，铅直尺度可以看成一样

• 这样的话垂直速度的绝对值就是水平速度的某一倍数

• 之后进行代换，并将一些项令成一些符号，就可以将一些系数令为湍流粘性系数
  

脉动动量输送方向

• 由上式可以看出，湍流输送脉动动量是由平均动量高值区向低值区输送

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湍流运动发展的判据（理查德森数）

层结作用

• 大气密度随高度的变化———大气层结
• 静浮力（浮力和重力的合力），就是气块密度合环境密度之差*g ，密度又和温度相关
• 因此静浮力取决于气团温度合环境温度哪个减小的更快
• 干绝热上升的气块的温度递减率就是干绝热递减率，是定值
• 如果干绝热递减率小于环境温度递减率，说明气块的温度要高，就要继续上升运动，就不稳定
• 稳定层结抑制湍流发展
• 不稳定层结促进湍流运动发展

平均运动

• 平均运动总是有利于湍流发展，用风速的垂直切边来衡量平均运动，垂直切边越大平均运动越强
• 湍流对平均运动是耗散，可以理解为平均运动是湍流运动的能量供给

理查德森数

• 稳定层结不利于湍流的发展，不稳定层结有利

• 平均动能越强越有利于湍流发展

• 理查德森数越小越有利于湍流发展，越大越不利于湍流发展 ====>分子越小（层结越不稳定），分母越大（垂直切变）

• 临界值：临界值不是固定值，变化范围为1.5~0.042，实际中一般取4/11

  1. 理查德森数小于0===>层结不稳定或稳定层结但是平均运动提供的能量更多
  2. 大于0 ===> 层结稳定且平均运动提供的能量少
     

• 位温形式的理查德森数
  

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近地面层风随高度的风度

常值通量层

• 在近地面中物理量的通量几乎不随高度变化——常值通量层
• 只考虑气压梯度力和湍流粘性力，不考虑地转偏向力

摩擦速度方程

• 摩擦速度：体现了湍流粘性力的强度（是常量
• 摩擦速度方程：
  

求解

• 求解需要一个边界条件（下边界为z0，并不是从地面的0，由地面粗糙度影响）和混合长l
• 混合长的确定：
  1. 在中性层结下l=kz k是卡曼常数，一般取0.4
  2. 非中性层结下的l就与层结有关

性质

• 在中性层结下，风随高度满足对数分布
• 非中性层结下，风随高度满足指数分布
• 稳定层结的风速切变大，不稳定层结的风速切变小
  

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风速分布日变化

上部摩擦层的风随高度的分布

• 上不摩擦层中：湍流粘性力，地转偏向力，气压梯度力三力平衡，存在地转偏差
• 由于垂直方向的输送远大于水平方向的输送，湍流粘性力项就只剩下z方向的
• 气压梯度力用地转风代替
• 假设x轴取在等压线上（气压在x方向上变化为0），假设密度为常数（假设是正压大气），假设k不随高度变化
• 得到齐次方程，解出地转偏差，可以解出实际风

Ekman螺线：

• Ekman标高：
  

• 得到u,v的廓线，有几个重要的转折点：

  1. v最大处
  2. v第一次等于零，风向和地转风风向一致
  3. u风第一次与地转风大小一致
     

• 将u，v矢量合成后可以画出Ekman螺线

• 当高度大于Ekman标高时，风向在地转风附近摇摆，幅度越来越小

• 高度到自由大气的时候，风趋近于地转风，并在地转风周围震荡
  

性质

• Ekman标高和地转参数和湍流粘性系数有关
• 纬度越低，边界层厚度越厚
• 湍流年吸光系数越大，湍流越强，边界层厚度越厚
• 随高度的升高，湍流粘性力随指数下降
• 风向第一次与地转风的高度一致的地方称为梯度风高度
  

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Ekman层中湍流粘性力随高度的变化

• 湍流粘性力的方向和地转偏差的方向相垂直，且为地转偏差方向逆时针转90度，大小为地转偏差的绝对值乘以地转参数

湍流粘性力的做功

• 自由大气漩涡系统消亡的时间，实际观测4-5天，理论上自身湍流消散作用需要100天
• 自由大气的湍流耗散很小，为什么边界层的耗散会影响到自由大气呢？

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二级环流与大气旋转减弱

Ekman抽吸

• Ekman层中风要穿越等压线，气旋区会将空气抽到自由大气，高压区会从自由大气吸入，由于湍流摩擦引起的垂直运动的环流
  

无量纲数

有几个无量纲数是需要掌握的

罗斯贝数

水平惯性力/科氏力
用来衡量水平惯性力和水平科氏力的尺度之比

• 罗斯贝数<<1的时候，水平惯性力可以忽略
• 罗斯贝数>>1的时候，科氏力可以忽略
  

基别尔数

代表惯性运动的特征时间尺度与所研究的时间尺度之比

• 基别尔数<<1说明运动过程是慢过程
• 基别尔数>>1说明运动过程是快过程

理查德森数

• 稳定层结不利于湍流的发展，不稳定层结有利

• 平均动能越强越有利于湍流发展

• 理查德森数越小越有利于湍流发展，越大越不利于湍流发展 ====>分子越小（层结越不稳定），分母越大（垂直切变）

• 临界值：临界值不是固定值，变化范围为1.5~0.042，实际中一般取4/11

  1. 理查德森数小于0===>层结不稳定或稳定层结但是平均运动提供的能量更多
  2. 大于0 ===> 层结稳定且平均运动提供的能量少
     

• 位温形式的理查德森数
  

大气能量学

• 中低纬度能量盈余，高纬度亏损，存在热量平衡的维持
• 能量研究的时候只需要知道初态和终态

大气的主要能量形态

• 位能
• 内能
• 动能
• 潜热能

位能

• 质点处于重力场中都具有重力势能，即位能
  单位质量的气块的位能如下：
  

• 单位截面积有一定厚度的薄片的位能，厚度为dz的位能为：
  

• 单位截面积的气柱的位能：

• 使用p坐标系可以将密度项约掉
  

• 整层大气柱的位能：
  

内能

• 单位质量的内能：
  

• 单位截面积薄层具有的内能，同理位能
  

• 整层大气柱的内能
  

动能

• 单位质量气块的动能
  

• 单位截面积薄层
  

潜热能

• 系统中所有水汽全部凝结释放的热量
• 汽化热L：单位质量液态水气化到气态所吸收的热量，也是单位质量液态水凝结所释放的热量
• 单位是质量湿空气潜热能：H=Lq （汽化热*比湿）
• 潜热能的释放与降水相对应
• dz厚度薄层具有的潜热能
  

单位截面四种能的公式

全位能

全位能 = 位能+内能

大气运动=纬向平均运动+涡旋运动=大气环流+天气系统

真实大气运动-纬向平均=扰动=====>波流相互作用

• 全位能就是气柱的焓，就是$P=h=c_p\times T$

气柱位能和内能的关系

无穷高气柱

• 内能增加——温度增加——气柱膨胀——质心抬升——位能增加

• 内能和位能是同向变化的

• 无穷高气柱推导后可以看出，位能/内能约等于0.4，且两者是同增同减，将两者一起考虑，得到全位能`

• 气柱的全位能就是气柱的焓

有限高气柱

• 位能和内能的关系还跟气柱的底部，顶部高度，气压有关，不是单纯的只是比例关系
• 使用的推导只是将整层气柱中的上下限变为两个压强而已，推到结果为：
  

占比情况

• 位能/内能：0.4
• 内能/全位能：0.7
• 位能/全内能：0.3
• 潜热能/全位能：0.2
• 动能/全位能：1/2000
• 有效位能/全位能：1/200
• 动能之占全位能的非常小一部分，但很重要

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大气能量平衡方程

动能方程

• 用速度点乘运动方程，得到：
  
• 由于科氏力项中叉乘后点乘结果为0，方程写成这样
  
• 各项：
  1. 气压梯度力做功
  2. 重力作用项（是动能和位能转化的项）
  3. 摩擦耗散项
• 水平方向动能改变只和气压梯度力做功有关
• 如果是地转运动，则动能不会发生改变，因此要使系统的动能发生改变，必须要有穿越等高线的运动
• 如果是非地转运动，气压梯度力做正功，动能增加，反之减少
• 如果考虑大气是闭合系统：无质量交换，有能量交换，并且将动能方程写成欧拉形式，经过推导后得到：
  
• 将气压梯度力做功项，使用连续方程配通量之后，由于通量项在闭合系统中为0，又可以得到如下的动能方程
  

位能方程

位能对时间求导

可以看到等号右边的gw，就是动能方程的右端的重力作用项取相反数，因此是内能与动能的转换项
可以得到结论：

• 上升运动，位能增加，动能减少，动能转化为位能
• 下沉运动，位能减少，动能增加，位能转化为动能

内能方程

• 得出结论:

1. 非绝热加热导致内能增加，冷却减少
2. 反抗气压场做功，气块内能减少，气块动能减少，周围动能增加；气压场对气块做功，气块内能增加，气块动能增加，周围动能减少

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闭合系统的能量转换与守恒

全位能方程

公式

• 展开为欧拉形式之后对闭合系统积分，再次使用连续方程凑通量的方式，最后化为
  

性质

• 全位能的变化量与垂直运动与温度相关项和非绝热加热项有关
• 物理意义就是：加热膨胀，质心上升，位能增加；加热使得温度上升，内能增加，两者是同步变化，导致全为能增加

动能方程与全位能方程的关系

• 将两个方程放在一起看
  
• 可以发现黄色的两项，只是符号相反，两者的区别在于摩擦耗散项和非绝热加热项
• 干空气的总能量由：非绝热加热作为供能，摩擦力作为能量耗散
• 如果绝热，无摩擦，总能量守恒
• 温度与垂直运动综合项在两个方程中同时出现，但方向相反，是全位能和动能之间的转换项，方向相反就体现了两者的转换机制，即动能增加，全为能会减少，动能减少，全为能会增加
• 垂直运动是动能和全位能转换的必要条件
• 等压面上的温度分布如果是均匀的，那这一项也是0
• 如果温度与上升运动是负相关，就是全位能向动能转换
  - 物理意义：当暖空气上升，冷空气下降，冷空气质量大，整体的质心下降，全位能减小，动能增大，反之全位能增加，动能减少

地转偏向力对能量转换的影响

• 如果将垂直运动和动能项写成位梯度的形式
  
  则动能和全为能之间的转换是通过位势梯度做功进行
• 地球自转让空气趋向于沿等压线运动（趋于地转运动），减缓了能量的转换，因此如果空气严格地按照地转运动，就不会出现动能向全位能的转换了
• 虽然地转偏向力不做功，但是会使大气运动趋于沿等压线运动，减缓了全位能向动能的转换速度

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有效位能

在闭合系统中，经过干绝热过程（没有潜热释放，且没有太阳辐射，全位能与动能之和守恒），从初始状态调整到水平稳定层结状态（此时全为能最小）时，系统所能释放的最大全位能，称为有效位能

• 全位能中能转换为动能的部分称为有效位能
• 从初态到终态，气块反抗净浮力做的功也是有效位能
• 在位能落差大的地方最能转化为动能
• 就是由斜压调整为正压及静力平衡状态时具有的全位能之差
• 因为稳定的温度层结是上暖下冷，反过来的时候不稳定，当暖空气下沉，冷空气上升的时候，全为能向动能转化
• 因此大气的斜压性是转换的必要条件
  
  

性质

• 绝热运动时，大气的有效位能和动能之和不变
• 有效位能取决于初始状态的质量分布
• 如果等压面，等温面上水平分布均匀且层结稳定，有效位能就是0
• 大气为斜压的时候，有效位能一定是正值

锋面中的有效位能

• 如果没有地转偏向力，冷暖空气相遇应该是冷空气在下，暖空气在上
  

• 但由于锋面处风垂直屏幕方向吹，会有地转偏向力。最终地转偏向力和气压梯度力平衡时候最终锋面向冷区倾斜，理论上还有位能可以释放，但是已经不会变成完全正压的状态了
  

利用气块法计算有效位能

• 气块反抗净浮力做的功就是有效位能

• 公式：
  

• 性质：

• 干绝热过程上升气块的位温不变，但是环境的平均位温是有增加的，产生了位温差，只要不等于零就是由于大气斜压

• 有效位能取决于等压面上的位温差

• 平均有效位能占全位能的1/200

闭合系统中的有效位能方程

• 公式
  

• 有效位能和动能的转换项

• 有效位能产生项：等位温面上，高压区加热，低压区冷却将使有效位能增加

• 平均有效位能决定于等赏熵面上的气压偏差

实际大气的能量循环过程

动能和有效位能又分为纬向平均和漩涡运动（扰动）
考虑这四个能量之间的转化

• 纬向平均运动的动能 Km
• 纬向平均运动的有效位能 Am
• 涡旋运动的动能 Kp
• 涡旋运动的有效位能 Ap

纬向平均动能方程

由速度叉乘运动方程，根据连续方程配出通量项，考虑闭合系统通量为0，最后对质量积分，得到平均动能方程

• 动量的涡动输送：
• 纬向平均运动的冷暖空气上升或下沉
• 平均的(纬向平均运动)摩擦耗散

纬向平均扰动方程

• 与纬向平均运动的相互作用
• 扰动运动的冷暖空气上升或下沉
• 涡旋运动的摩擦耗散

对纬向平均运动的相互作用的讨论

（这一步变换就不是很看得懂，有无大佬能解释一下）

因此就要看u和w的扰动，就想到槽前脊后有u也有垂直运动

• 对于非对称的槽脊，可以分为导式槽和式曳槽，区别就是事实槽的走向，对应着槽两侧的u风速大小的区别
• 虽然槽前后的uw负号相反，但是由于u的大小在槽前槽后有区别，就会有主导的一方
• 对于导式槽：
• 对于曳式槽：
  

纬向平均有效位能方程

• 由热力学方程出发
  
• 热量的涡动输送
• 纬向平均运动的冷暖空气上升下沉
• 纬向平均非绝热加热

扰动有效位能方程

• 与纬向平均有效位能的转换项
• 扰动运动的冷暖空气上升下沉
• 扰动非绝热加热

将四个方程连立来看

• 有四对是转换项

• {a,b} 表示a能量与b能量的转换关系,{a,b}>0 说明有能量从a向b转化，小于零反之

• 用来简化方程的表达后得到四个方程
  
  

• 由于强迫，增加了有效动能，有效动能转换为动能，最后被耗散掉

• 有效位能和扰动有效位能间可以转换，扰动有效位能不能直接给到动能

能量转换的机制

非绝热加热和有效位能之间的转换

• 如果是正相关：暖区加热，冷区冷却，使温差变得更大，使得有效位能增加
• 负相关：暖区降温，冷区升温，温差加大，有效位能减小

平均有效位能和扰动有效位能的转换

• 如果温度和热量净输送是正相关，代表暖区有热量输出，冷区有输入，平均有效位能向扰动有效位能转换
• 比如温度槽落后于高度槽，槽前水平方向是从南向北输送暖空气，会使平均有效位能减少，扰动有效位能增加，同时 槽前竖直方向有上升运动，从地面（暖区）向上输送热量，也会使平均有效位能减少，扰动有效位能增加
• 反之高度槽落后于温度槽，槽前从暖区向北输送冷空气，向上输送冷空气，导致平均有效位能增加，扰动有效位能减少

有效位能和动能之间的转换

通过冷暖空气的上升下沉引起

• 平均之间就是全球尺度的三圈环流
• 扰动之间就是天气系统中发生的上升下沉运动
• 直接热力环流：暖区上升，冷区下降，质心降低，全位能减小，动能增加
• 费雷尔环流：暖区下沉，冷区上升，质心抬升，全位能增加，动能减少
  

扰动动能和平均动能的转换

• 由于纬向平均风比经向平均风大得多，因此基本以纬向风那一项为主
• 平均动能体现在急流上，扰动动能体现在槽脊上，因此急流轴两侧槽脊的形式可以决定是急流发展还是槽脊发展

水平方向

• uv,uw的正负和Vu梯度的正负，决定了是平均动能向扰动动能转化还是反之
• 表示纬带的西风动量的输入输出对西风动能的影响
• 比如在西风急流轴两侧，风速在y方向的梯度一正一负
  
  同时对于导式槽和曳式槽，uv也有正负之分
  

因此两者综合起来看，就有：

• 急流以北导式槽（$u^{{}^{\prime }}{v}^{{}^{\prime }}<0,\frac{\partial u}{\partial y}<0$之积小于零，扰动向平均转换）
• 急流以南导式槽（$u^{{}^{\prime }}{v}^{{}^{\prime }}<0,\frac{\partial u}{\partial y}>0$之积小于零，平均向扰动）
• 急流以北曳式槽 （$u^{{}^{\prime }}{v}^{{}^{\prime }}>0,\frac{\partial u}{\partial y}<0$之积小于零，平均向扰动转换）
• 急流以南曳式槽（$u^{{}^{\prime }}{v}^{{}^{\prime }}>0,\frac{\partial u}{\partial y}>0$之积大于零，扰动向平均）

竖直方向

对于竖直切面，急流轴上侧随高度风速下降；急流下侧随高德风速上升

同样的导式槽和曳式槽对于垂直剖面

• 综上可以得到
  

• 急流之下导式槽 （平均动能向扰动动能转化）

• 急流之上导式槽 （扰动动能向平均动能转化）

• 急流之下曳式槽 （扰动动能向平均动能转化）

• 急流之上曳式槽 （平均动能向扰动动能转化）

耗散项

主要是边界层中的Ekman抽吸和二级环流

• 其中扰动的涡旋运动大于平均运动的涡旋运动，而Ekman抽吸的强度取决于涡度大小，因此耗散在涡旋运动中远大于平均运动引起的耗散

小节图

上述的各个流程可以用这张关系图来概括

北半球实际大气中定量的能量转换

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大气波动

• 波动和能量是两个角度对大气的研究
• 对大气运动方程组进行处理，解波动的方程
• 大气中的四个基本波动：声波，重力波，惯性波，罗斯贝波
• 大气长波是主要影响的，次要的需要滤波

四种波的形成机制和性质

重力波

是大气在重力作用下产生的一种波动，它的产生和垂直运动联系在一起

• 重力外波：发生在自由面上的重力波
• 重力内波：发生在稳定层结大气内部

重力内波

在稳定层结下，气块受到垂直扰动后，偏离平衡位置，受净浮力(重力和浮力的合力作为回复力)作用，做浮力振荡；如果振动能够传播，形成重力内波

重力外波

处于大气上下边界(如自由面)附近的空气快受到扰动以后，偏离平衡位置在重力作用下产生的波动。因此它主要发生在边界面上，离边界面越远，波动就越不显著

• 自由面——密度不同流体的交界面(比如水面波就是典型的重力外波）
  

• 但实际上大气不存在自由面，需要假设正压，则大气可视为有一定厚度的均值大气

性质

• 双向传播
• 上下震荡，水平传播（垂直方向的横波）

形成条件

• 有自由表面
• 有水平的辐合辐散

滤波条件

• 均质不可压：滤去重力内波，声波
• 静力平衡：滤去垂直方向声波
• 不考虑科氏力：滤去惯性波和大气长波
• 一维运动：滤去水平向横波，大气长波

形成机制

1. 0时刻给一个向上的扰动，引起该区间内压强大，与两侧产生压力梯度，会向两侧辐散
   

2. AA’区域产生辐散，两侧受到这个扰动开始辐合，此时AA’区域水平，压力梯度减小为0
   

3. AA‘区由于惯性会继续辐散，继续往下掉，但此时两侧由于之前的扰动已经有气压梯度力了，直到AA’区域辐散为0
   

4. AA’区域开始辐合，自由面又开始上升

5. 就开始了振荡

• 可以看出，重力外波的回复力是气压梯度力，水平辐合辐散是回复机制
• 辐合会往上挤压，辐散会往下掉

公式推导

• p是所求的高度的压强，ph是自由面高度的压强（是定值）
• h是该位置波动的高度
• z是所求位置的高度
• 之后对这个式子除以密度之后对x,y方向进行偏导，发现z对于x,y方向偏导为0，得出结论：驱动大气运动的力(压力梯度力)与z无关
• 同时正压大气，同一水平面上没有压力梯度，风速在该层大气上是不变的，因此偏u偏z和偏v偏z也为0
• 因此运动方程就可以转化为如下方程：
  

体积守恒

质量守恒+均值不可压 = 体积守恒

• 考虑单位面积，则$1\times 1\times h=V$,如果乘上速度，就是uh，vh，就是x，y方向的体积通量

• 类似质量守恒的连续方程，体积守恒表达如下：
  
  

• 物理意义：如果有**体积辐合，自由面高度就会增加

• 体积辐散，自由面高度降低

浅水模式下方程组

垂直运动尺度远小于水平运动尺度——垂直方向的方程被略去
如果只考虑x方向传播，不考虑科氏力，则运动方程剩下一条，再加上体积守恒中去掉带v的项，浅水模式下的方程组为：

波速解

• 对上述方程进行线性化，略去扰动二阶项，之后得到该方程
  
• 之后进行消元，将要消去的量变为两个式子都有，之后相减消去
  
• 得到该式
  
• 之后设波速解，带入即可求解

对重力外波的讨论

• 重力外波水平的辐合辐散很强，对应着强的垂直运动
• 产生暴雨等中小尺度天气
• 重力外波叠加在基本气流上
• 速度大概在310m/s左右
• 与k无关，是非频散波

重力外波的滤波条件

• 水平无辐散
• 没有自由表面
• 大气做纯水平运动

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惯性波

质点在收到科氏力的作用下产生惯性震荡，并传播出去

形成机制

只受科氏力作用下的运动方程

• 假设北半球初始状态下有一气块，收到一个向北的扰动（v>0）
• 根据1式，有u方向开始有加速度，u>0
• u>0对应2式中，v会有负加速度，v减少，直到v=0，到达最北端
• 之后v方向加速度依旧<0，所以会向南运动，往复循环
• 轨迹是个圆
  

形成条件

• 地球旋转：产生科氏力
• 垂直运动及其加速度，水平散度的交替变化
• 纯粹的惯性波一般在大气中不常见，一般是科氏力和重力同时起作用，两者的混合波叫做重力惯性波

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重力惯性波

重力和科氏力同时起作用，引起的混合波叫做重力惯性波

假设

• 静力平衡
• 均质不可压
• 有自由面
• 科氏力不为0

浅水方程组

推导和前面的重力外波一致，但是加上了科氏力，得出的浅水方程组如下

求解

依旧是线性化，消元，最后只保留h’项

对重力惯性外波结果的讨论

• $\omega$是三次方的，应该有三个解
• 第一个解就是$\omega =0$，没有意义，是由于解方程的时候消元阶数升高造成的
• 应该让括号内的式子等于0，因此有：
  
• 当无扰动压力梯度时，简化为只受科氏力——就是惯性波
• 当k很大时，波长充分小，科氏力可以忽略——重力波

性质

• 双向传播
• 快波
• 频散波
• 传播机制：水平的辐合辐散

重力内波

稳定层结中，垂直向受到扰动，形成浮力振荡，通过水平的辐合辐散传播→重力内波
稳定层结中才能产生回复机制，气块受到扰动后想要趋于稳定，就会想回到稳定位置，产生回复机制

形成机制

1. AB处收到向上的扰动，AB上层辐散
2. 两侧上层辐合，下层必须辐散
3. 之后AB因为在稳定层结中，会趋于稳定状态回来
4. 周围流体以相同的方式影响周围流体，传播开来
   

• 在大气中就是这样：

1. A处存在上升运动，则A的上部辐散，下部辐合
2. 对应的A两侧空气，上部辐合，下部辐散，则两侧出现下沉运动
3. 由此A点的浮力震动向外传播了出去

包辛内斯克近似

在运动方程中只在垂直方向保留密度扰动项；
连续方程中忽略密度的影响；
热力学能量方程中只保留密度扰动的影响
若考虑的是浅层运动，则运动方程组变为

假设

• 采用包辛内斯克近似
• 上下边界刚性：滤去重力外波
• 二维运动（x,z)
• 不计科氏力
• 准静力平衡，干绝热过程

得到如下方程组：

• 其中$\lambda$为示踪系数，取0表示水平无辐散

• 之后假设在稳定层结中的静止大气，就是u=u’,u平均为0，这样的话线性化后的方程简化为
  
  其中$N^2为$
  

解方程

• 消元结果为
  
• 设结果是x与z方向的二维波动解
  
  

解的讨论

• lambda为0的时候表示水平无辐散，就没有波了，因此不能为0，只能为1

• 大气层结稳定时，N>0，而重力内波只在大气层结稳定时候存在，因此N>0
• 同时k$\omega <N$
• 写成x与z方向的波速度：
  

讨论群速度

• 该方向波速对该方向波速求偏导得到波群速

• 相速度和群速度点乘为0，因此相速度和群速度垂直
  
• 即波能量传播的方向和相位传播方向垂直
• 相速矢量和群速矢量水平分量相同，但垂直分量相反，因此如重力内波位相向东、向下传播，而波动的能量必然向东向上传播

性质

• 重力内波的波速大概为几十米/s,比重力外波小一个量级，与大气中运动的特征水平尺度相当
• 属于中速波
• 波速与波数有关，是频散波
• 波频率的最大值为浮力振荡频率$|\omega |<=N$
• 相速矢量和群速矢量水平分量相同，但垂直分量相反，因此如重力内波位相向东、向下传播，而波动的能量必然向东向上传播
• 形成机制和传播机制：浮力振荡+水平辐合辐散
• 双向传播：水平+竖直
• 和中尺度与局地性暴雨联系，对应强的上升运动

滤波方式

• 假设大气是中性层结，就没有回复机制了
• 假设大气水平运动
• 假设大气是水平无辐散的

重力惯性内波

假设

• 包辛内斯克近似
• 均值不可压
• 准静力，干绝热过程
• 考虑科氏力，且为常数
• 近似后的方程为：
  
• 滤波系数
  

形成机制

• 与重力内波的不同之处在于，考虑了科氏力之后，水平气流和南北方向气流之间会转换

• 如（2）式，当有西风扰动的时候，会产生北风扰动，而削弱原有的西风，改变原本的散度分布
• 内部条件：垂直愚弄的那个及其加速度，水平散度的交替变化

解方程

消元后得

对解的讨论

• 如果不考虑科氏力，而且是非静力平衡，只考虑x,z方向传播，则解退化为重力内波解
  

• 中性层结
  

• 中性层结+静力平衡
  

• 中性层结+非静力平衡
  

波速和波群速

• 重力惯性内波相速度和群速度水平方向相反，垂直方向相同
• 重力惯性内波相速度和群速度垂直

大气长波

• 比如东三夏四的大尺度槽及系统就属于大气长波

特点

• 大尺度波动是准地转，准水平无辐散，准水平运动，漩涡运动
• 波长为几十个经度，最多有3—6个槽
• 属于慢波，波速约为10m/s
• 强度：振幅>10hPa
• 属于横波，振动在南北方向，传播在东西方向

大气长波的模型假设

1. 假设运动在水平面内（滤去了重力波）
2. 大气均质不可压（滤去声波，重力内波）
3. 水平无辐散 （滤去重力惯性波）
4. $\beta 平面近似$

方程

经过假设后的简化方程

用涡度表示

• 由于是漩涡运动，最好用涡度来表示
• 对上式子1，2式进行如下处理
  $\frac{\partial }{\partial x}(2)-\frac{\partial }{\partial y}(1)$
• 其中$\zeta =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$
• 得到简化的涡度方程，和连续方程
  

线性化

• 假设大气长波是叠加在均匀的西风基流上（速度的平均量是均匀的，因此梯度为0），但存在扰动（西风急流），因此扰动量不为0
• 根据此假设，线性化后的方程如下
  
• 此时发现，有三个扰动量，但只有两个方程，方程不闭合

流函数的引入

• 根据假设，此时考虑的是有漩无辐散(有漩：zeta不为0，无辐散：连续方程处为0)

• 则可以引入流函数$\psi$
  

• 带入后，上式变为一元线性微分方程，未知数就剩下了流函数
  

解其二维波动解

• 设${\psi }^{{}^{\prime }}为二维波动解$
  
  带入后得到
  
• 如果流函数不为0，那就是绿色部分为0，得到的解为候为治波
  

大气长波性质

相速度

• x方向相速度
  

• y方向相速度
  

波速

群速度

传播方向

• 如果只考虑一维传播，让l=0，则波速表达为
  
• 可以看出大气长波为单向传播，而且是相对于基本气流是西退的

罗斯贝长波公式

• 就是一维方向的波速公式
• 也可以将波数用波长来表示，天气学上常用波长形式表示
  

临界波数和波长

• 当波速为0的时候对应的波数或波长称为临界波数或临界波长
  
• 大于临界波长——西退
• 小于临界波长——东进
• 因此有长波西退，短波东进的说法
• 但也不是波长越长退的越厉害，对于超长波，事实表明要么准静止，要么缓慢西退，不会西退的很厉害
• 因为正压罗斯贝波适用于涡度量级大于散度量级的情景，在超长波中，散度项对于波动来说并不是小项，不可忽略，因此罗斯贝公式失效，因此不是波长越长西退的越厉害

尺度分析

• 带入后得到波速在中纬度地区约为10m/s

频散特性

• 大气长波是频散波，$c!=c_g$
• 能量移速比波速快，因此有上游效应，能量一定在槽脊的下游，上游槽脊会在下游加强原有的波动
• 波长越短，能量东传越慢
• 不管波长如何，能量只会东传，因为波群速永远大于0
  
• 通常认为大尺度运动的演变过程即为罗斯贝波的频散过程

频散强度

• 频散强度跟波长的平方成正比，说明波长越长，频散越强——对应的现象是大槽大脊容易形变，而小槽小脊容易维持
• 频散强度与临界波长成反比，即与纬度成反比——对应的现象是高纬度系统容易维持，半永久性系统总是在高纬度

波动形成机制

• 由罗斯贝波公式可以看出，$\beta 效应对于罗斯贝波的产生式必要条件$
• 大气长波是大气运动的南北扰动受β效应的影响而产生的

点涡解释

1. 中间点收到向北的扰动，产生反气旋流场
2. 反气旋流场会使该点左边也产生向北的扰动，使该点左边产生反气旋流场
3. 中间点的反气旋流场转一圈之后向南走，使得其右边产生气旋流场
4. 左右分别是反气旋和气旋，交界处使中间点有向南的扰动（回复机制）
5. 左边是反气旋，产生了脊，右边是反气旋产生了槽
6. 原本是中间点的反气旋流场传到了左边**（脊的西退），而两个流场交界处产生的向南扰动让中间点产生气旋流，（槽的西退）**，因此传播是西退的
   

公式应用

• 由于波速与基本气流的量级相当，因此可以用风速来预报槽脊的移速
• 全球几个半永久性活动中心可以用静止波解释
• 小槽小脊东移快