有趣的小实验：四种语言搞定“超超超难”剑桥面试数学题

概览

如上图所示，这是一道貌似“超超超难”（作者用了 4 个 Super）的数学题，出自剑桥大学的面试环节。

说实话，现在的我已“不可能”通过纸笔计算得出这个问题的解了。

不过，如果剑桥面试官允许我们带电脑入场的话，解决它是分分钟的事（确切的说应该是毫毫秒的事…）。

在本篇博文中，我们将用 4 种语言（x64汇编、C、ruby 和 Swift）来搞定它，并比较它们性能的优劣。

测试主机为我快被淘汰的爱机： MacBookPro（2016年） 2.9 GHz 双核Intel Core i5，8GB内存，测试系统为 macOS Monterey（12.6.6）。

废话少叙，Let‘s workout it！！！

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审题

题目意思很简单：

• 如果 a + b + c + d = 63；
• 求 ab + bc + cd 的最大值；
• 其中 a、b、c、d 都为自然数；

那么问题来了，零是否属于自然数？

关于这个问题的答案知乎上有一篇文章做了回答：

各方有两个观点：第一，不包括；第二，包括。


我的观点是自然数(Natural numbers)不包括0，因为在国外的学术界，自然数是从数(shu三声)实物开始，或者数(shu三声)数（Counting Numbers{1，2，3，…}）,数(shu三声)物体是从1开始数(shu三声)的。所以自然数不包括0.


给正在学习的学生两个建议:


1.如果你一直在国内读书，从小学（小学数学课本有规定自然数包括0）一直读到大学或者研究生或者博士，那么你一定要知道自然数是包括0的，自然数集N（从0开始，中国教科书的规定），N+(N的右下角是“+”)或者N*（表示从1开始的正整数集）。因为会贯穿国内的数学考试，所以记住0是自然数。


2.如果你在国际学校或者国外读书，请记住自然数不包括0，原因如上（我的观点）。如果你中途出国留学，请记住国内和国外的标准就好了。

原文在此：自然数到底是否包括0？

这里，我们采用 零不是自然数的观点 ，在 swift 的解决方案中，我们将会看到如果选择 零是自然数的观点，结果会有怎样的不同。

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另外需要注意的是：对于这些语言生成的可执行文件，我们都使用 time 命令多次运行（估算耗时平均值）的方式来确保计时相对准确，但无法保证非常严谨的绝对准确，毕竟只是“趣味实验”而已。

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ruby

ruby 的代码很直截了当：

#!/usr/bin/ruby

max = 0
r = 1..63
for a in r do
    for b in r do
        for c in r do
            for d in r do
                if a + b + c + d == 63
                    rlt = a*b + b*c + c*d
                    if rlt >= max 
                        max = rlt
                    end
                end
            end
        end
    end
end

print("max is #{max}\n")

将以上代码保存至 test.rb 文件中，再用 chmod 指令赋予它可执行权限：

chmod u+x test.rb

运行可以看到，ruby 平均耗时大约在 1.28秒左右：

% time ./test.rb
max is 991
./test.rb  1.22s user 0.04s system 98% cpu 1.272 total
% time ./test.rb
max is 991
./test.rb  1.23s user 0.04s system 98% cpu 1.286 total
% time ./test.rb
max is 991
./test.rb  1.24s user 0.04s system 98% cpu 1.295 total

我们还可以换一种算法：

r = (1..63).to_a
all = r.product(r,r,r)

all.map do |g|
    a,b,c,d = g[0], g[1], g[2], g[3]
    if a + b + c + d == 63
        rlt = a*b + b*c + c*d
        if rlt >= max 
            max = rlt
        end
    end
end

print("max is #{max}\n")

这种算法会先创建所有 a、b、c、d 数的组合，然后再做计算，所以非常慢，花了 11 秒之多：

% time ./test.rb
max is 991
./test.rb  10.58s user 0.95s system 97% cpu 11.831 total

swift

再来看看 Swift 语言的表现。

为了确保计时准确，我们不在 Playground 中测试；而是使用 Xcode 新创建一个 Command Line Tool 类型的项目，将如下代码放入 main.swift 文件中：

import Foundation

typealias GroupNumbers = (a: Int, b: Int, c: Int, d: Int, rlt: Int)


@inline(__always) func value(_ g: GroupNumbers) -> Int {
    g.a * g.b + g.b * g.c + g.c * g.d
}

var max = 0
let r = 1...63
for a in r {
    for b in r {
        for c in r {
            for d in r {
                if a + b + c + d == 63 {
                    let v = (a: a, b: b, c: c, d: d, rlt: 0)
                    let rlt = value(v)
                    
                    if rlt >= max {
                        max = rlt
                    }
                }
            }
        }
    }
}

print("max is \(max)")

使用 Xcode 编译链接生成 test 可以执行文件，运行测试发现耗时要将近 7 秒多：

% time ./test
max is 991
./test  7.20s user 0.04s system 83% cpu 8.671 total
% time ./test
max is 991
./test  7.22s user 0.04s system 99% cpu 7.317 total
% time ./test
max is 991
./test  7.28s user 0.05s system 98% cpu 7.435 total

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现在填之前挖的坑：如果零算自然数的话 ，结果会有怎样的不同呢？

改变上面代码中 r 的值为：

let r = 0...63

再次运行可以发现此时 max 值为 992，比之前的值大 1：

% time ./test
max is 992
./test  7.73s user 0.05s system 99% cpu 7.859 total

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swift 语言咋这么不给力呢？别急，往下看！

c

c 代码看起来就很 beautiful 了：

#include 

int main() {
    int start = 1;
    int end = 63;
    int max = 0;

    for (int a = start; a <= end; a++) {
        for (int b = start; b <= end; b++) {
            for (int c = start; c <= end; c++) {
                for (int d = start; d < end; d++) {
                    if(a + b + c + d == 63) {
                        int rlt = a*b + b*c + c*d;
                        if(rlt >= max) {
                            max = rlt;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    printf("max is %d\n", max);
    return 0;
}

使用 clang 生成可执行文件 test：

clang -o test test.c 

运行看一下结果：

% time ./test
max is 991
./test  0.04s user 0.00s system 93% cpu 0.050 total
% time ./test
max is 991
./test  0.04s user 0.00s system 94% cpu 0.047 total
% time ./test
max is 991
./test  0.04s user 0.00s system 95% cpu 0.049 total

c 果然名不虚传，结果是碾压式的胜利，只需 0.05 秒左右。

x64 asm

最后，我们来看看 macOS 中低调的 x64 汇编语言。

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关于新 Apple Silicon 芯片上 ARM64 汇编的测试代码，请留意随后的博文。

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为了进一步追求性能，我们将所有临时变量都放在寄存器中（x64模式下新增了 8 个 64 位通用寄存器：r8 - r15，管够！ ），以减少内存操作带来的性能影响：

    .data
string: .asciz  "max is %ld\n"

    .text
    .globl      _main
    .p2align    4, 0x90
_main:
    push    %rbp
    mov     %rsp,%rbp
    pushq   %rbx
    pushq   %rdx
    
    mov     $1,%rax
    mov     %rax,%rbx
    mov     %rax,%rcx
    mov     %rax,%rdx
    xor     %r11,%r11
start_a_loop:
    cmpq    $63,%rax
    jg      end_a_loop
start_b_loop: 
    cmpq    $63,%rbx
    jg      end_b_loop
start_c_loop:
    cmpq    $63,%rcx
    jg      end_c_loop
start_d_loop:
    cmpq    $63,%rdx
    jg      end_d_loop

    # if a + b + c + d == 63
    xorq    %r8,%r8
    add     %rax,%r8
    add     %rbx,%r8
    add     %rcx,%r8
    add     %rdx,%r8
    cmpq    $63,%r8
    jne     not_equ_63
    # == 63, 计算 a*b + b*c + c*d 放到 r8 中
    mov     %rax,%r8
    imul    %rbx,%r8

    mov     %r8,%r9
    mov     %rbx,%r8
    imul    %rcx,%r8

    mov     %r8,%r10
    mov     %rcx,%r8
    imul    %rdx,%r8
    
    addq    %r9,%r8
    addq    %r10,%r8

    cmpq    %r11,%r8
    jl      not_equ_63

    # 更新 max 值
    mov     %r8,%r11
not_equ_63:
    incq    %rdx
    jmp     start_d_loop
end_d_loop:
    xor     %rdx,%rdx
    incq    %rcx
    jmp     start_c_loop
end_c_loop:
    xor     %rcx,%rcx
    incq    %rbx
    jmp     start_b_loop
end_b_loop:
    xor     %rbx,%rbx
    incq    %rax
    jmp     start_a_loop
end_a_loop:
    lea     string(%rip),%rdi
    mov     %r11,%rsi
    callq   _printf
    popq    %rdx
    popq    %rbx
    popq    %rbp
    xor     %rax,%rax
    ret

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注意：在上面代码中我们使用 imul 指令处理乘法操作，这里还可以优化。

因为 imul 是相当慢的指令，我们可以进一步使用 SSE 或 移位指令来提高性能。

不过，这里点到为止，别影响“趣味性”哦。

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在 macOS 系统中，我们使用如下命令编译和链接汇编代码：

as test.s -o test.o
ld test.o -lSystem -L `xcrun --show-sdk-path -sdk macosx`/usr/lib -o test

使用汇编果然不同凡响，我们成功的把计算耗时降低至 < 0.03 秒：

% time ./x64
max is 992
./x64  0.02s user 0.00s system 89% cpu 0.027 total
% time ./x64
max is 992
./x64  0.02s user 0.00s system 89% cpu 0.029 total
% time ./x64
max is 992
./x64  0.02s user 0.00s system 89% cpu 0.028 total

所以综上所述：为了达到极致性能，我们不得不回归 c 代码，甚至写一些让人“头大”的汇编指令才行吗？

大错特错！！！

另一个故事

ruby 语言咱就不说了，毕竟它是 真·“出了名的慢”。

不过，对于 swift 和 c 语言，我们好像还没开启优化哦？（说好的20倍界王拳呢？说好的超级赛亚人呢？）

首先看 c 语言，我们之前在编译源代码时并没有使用任何优化选项，现在我们要发力了：

clang -O2 -o test test.c

在使用 O2 优化选项后，我们再来看看 c 代码的表现：

% time ./test
max is 991
./test  0.02s user 0.00s system 86% cpu 0.025 total
% time ./test
max is 991
./test  0.02s user 0.00s system 89% cpu 0.025 total
% time ./test
max is 991
./test  0.02s user 0.00s system 91% cpu 0.029 total

看到了吗？几乎和汇编版本不分上下，甚至略微胜出。

再来看看 swift 语言。在 Xcode 中将项目的 Scheme 切换至 Release 模式，并确保 clang 对应的优化选项为如下等级：

编译并运行可以看到，优化后 swift 语言代码的速度已妥妥的超过汇编了：

% time ./test
max is 992
./test  0.01s user 0.00s system 82% cpu 0.019 total
% time ./test
max is 992
./test  0.01s user 0.00s system 85% cpu 0.021 total
% time ./test
max is 992
./test  0.01s user 0.01s system 86% cpu 0.021 total

感兴趣的童鞋可以使用 otool 工具来查看一下优化后 c 和 swift 可执行文件的汇编代码。

所以，不要低估编译器优化的威力，也不要高估自己汇编语言的水平。T_T

当然，上面汇编代码也是可以再优化的，耗时小于 swift 优化后的代码也不是梦想，不过这真是另一个故事了…

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在 超详细：实现 Swift 与 汇编（Asm）代码混编并在真机或模拟器上运行 这篇博文中，我们将会在真机（iPhone 14 Pro Max）上测试上述 ARM64 汇编代码，这次汇编终于赢了 C 和 Swift！！！

有兴趣的小伙伴不妨移步观看哦。

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看到这里，大家是不是觉得很有意思呢？

时刻保留一颗童心，保持一颗初心，祝天下所有程序员小伙伴们 6.1 儿童节快乐！！！

题目的标准答案

以防小伙伴们挡不住的好奇心：这道题目的标准答案以及数学解题思路到底是什么呢？

下面是百度知道的解答：

a、b、c、d加起来是63 ab+bc+cd的最大值是多少？

这里还有 stackexchange 上国外网友的回答：

If a,b,c,d are positive integers with a sum of 63, what is the maximum value of ab + bc + cd ? (By using calculus to solve it))

最后，还有一个详细的视频解题教程，大家可以参考下：

视频：若abcd是正整数，和是63，求ab+bc+cd的最大值

总结

在本篇博文中，我们用 4 种语言（x64汇编、c、swift 和 ruby）解决了一道“超超超难”的剑桥数学题，并讨论了这些语言的实现性能，你绝猜不到最快的是谁！

感谢观赏，再会