恒容容器放气的瞬时流量的计算

有时候，你会遇到一个问题，该问题的描述如下：

        你有一个已知体积的容器，设容器体积为，里面装有一定压力(初始压力)的气体，如空气或氢气等，设初始压力为，容器出口连接着一个阀门开关，开关后面接直径为的钢管，钢管出口为一个大气压。当阀门瞬间全开时，气体出口的瞬时流量值随时间变化到底是怎么样的呢？

        该问题相当于已知气体管道直径，即已知管道横截面积，已知气体管道两端的气压差，同时知道进口气体总温为323K，求出口瞬时质量流量或瞬时体积流量随时间的变化关系和曲线，其中是气体密度，为出口气体流速，即为气体流过管道的横截面积。

1. 第一种方法：根据哈根泊谡叶方程

         利用理想气体方程：(假设放气是等温过程，)和哈根泊谡叶关系式：，表示的是体积流量，单位为，是管子的半径，是流体的动力黏度，单位是，是管子的长度，压强的单位为。两个方程联立，

，考虑等温过程，有，也就是说，的变化仅与容器内压力的变化有关。进一步，根据，假设密度不变，有：，积分后得到：，有，利用该关系式，得到随时间的关系如下图所示，为一指数函数形式，而且可以通过积分，得到积分总流量为，根据，可见积分与差分得出的总流量非常接近。

        若气体密度不是常数，则根据，有，进一步有： 

，进一步积分，得到，得到的曲线如下图所示。

        通过数值计算，时间小量取，得到的质量流量曲线如下图，积分得到总流过的质量为，与有差异，这是因为时间小量不够小导致的，当你取时，积分得到总流过的质量为，此时就已经与非常接近了。

          以密度不变的解法为例，一开始的瞬时流量值非常离谱，可以去到，根据，可以知道出口流体平均速度，光速是，出口速度已经达到倍的光速，也超过空气声速，妥妥是一个超音速流，而且放气过程时间非常短，不超过。经过大量的资料查询，该结果似乎与实际测试不符。

附：关于哈根泊谡叶关系式的推导，见下图。 

2. 第二种方法：根据气体动力学推算

        为什么第一种方法就不符合实际呢？前人发现，收缩的出口在气流流速加速到马赫数1时，即时，气体流速达到上限。

         假设排气过程与气体管道壁面的换热忽略不计，即壁面是绝热的，气体流体是一个准稳态问题，排气口相当于是收缩，没有扩张，根据气体动力学可知，出口气体流速只能加速到1马赫数，即。根据总静温关系式，得知。再根据马赫数定义式，这里是气体比热容比，定义为定压比热与定容比热之比，变换后有，，，比气体常数为：，得到氢气气体流速。

        根据，,，，，，为一个大气压。在的壅塞流阶段，可解得。这阶段，理解为流速不变，变化导致的变化，瞬时质量流量也会随之变化，但体积流量不变。如下图所示，绿色曲线是瞬时流量，紫色曲线是体积流量，绿色部分面积是积分得到的总质量流量，通过积分得到壅塞流下的总质量流量为，换算成密度为的体积流量为。

        后面非壅塞流状态下的亚声速流，原则上也是利用，，，，，这5个式子得到的关系，我用欧拉法获得解析解的近似值，得到后续的流量曲线，具体步骤是，知道压力初始条件，初始瞬时流量为，也就是等于壅塞流状态下最后一刻时间的流量，然后利用瞬时流量乘以时间小量，得到，再利用关系式，得到的变化量，然后计算马赫数、速度，温度等参数，不断进行迭代计算，当时结束迭代。如下图中绿色的质量流量曲线和紫色的体积流量曲线，通过积分面积算得亚声速流下总质量流量为，换算成密度为的体积流量为，因此放氢整个过程总质量流量为，与算出来的基本一致。整个过程的总体积流量为。

3. 第三种方法：绝热小孔自由放气模型

        根据伯努利方程得到气体的能量方程，根据能量守恒定律，将上述方程应用于小孔，得到小孔上游和下游状态参数的关系：，容腔内气体近似保持静止，即小孔上游速度。根据焓值的定义，上式可变为，其中为气体的恒压热容，为上游热力学温度，为下游热力学温度。

        由于气流流经小孔时，与管壁接触面小，流动快，可近似认为气体流动过程是绝热过程。将绝热方程式，，，是比热容比，是定压热容，是定容热容，以及将代入方程，可得，根据理想气体方程式，可得到以下关系：

，因此可进一步得到：

        根据质量流量的定义，有，这里由于计算的是小孔的气体流速，因此密度，速度即为，为气体流过小孔管的横截面积。将绝热关系式，和代入质量流量定义式，首先有，，因此有，所以有，化简有：

，其中，气体常数，是气体的摩尔质量。如空气的气体常数。

        ，定义流量函数，则有：，将看成自变量，是因变量，研究 随的变化曲线，有以下图形关系：

        通过对进行求导，令，，，

当，，进一步，选取，可以计算得到此时。将代入，可化简为：，。

        根据《气动系统的基础与计算特性》一书所述，雷诺首先对上述 时，获得极值的物理现象，解释为：当马赫数等于1的状态时，气流处于声速，下游的气流信息不能向上传递，上游的气流状态不随下游压力的变化而变化，许多学者称该现象为壅塞状态。被称为临界压力比，小于此值时，流量达到饱和，也可称为声速流。因此有如下式子，其图形如下图红实线所示。

        工程上，经常用来代替，曲线如下图的蓝色虚线所示，从图形上看，两者曲线基本吻合，且当时，，因此。两者曲线如下图所示，两者最大误差为3%。

        这样得到小孔的一维等熵流动的质量流量的近似公式：

，。

         由于，可得，当和恒定时，有：

，有

 ，时，移项得，积分得，

        也就是说，壅塞状态下(声速流)质量流量曲线是指数形式下降的。亚声速流下的质量流量计算则比较复杂，根据状态方程的微分形式，并按绝热过程处理，有以下公式：

，其中将质量流量公式代入，使用差分形式，取时间微小量为，取，，取，，，并进行数值计算，得到的质量流量曲线初看真的很像一条直线，但细看还是有点往上凸的。数值计算结果表明，亚声速流时间约为0.0287s，气体从初始323K降低至最后的269.17K。

        若按简化后公式，这里，所以有，根据此式计算质量流量，同样进行数值计算，亚声速流时间约为0.0361s，气体从初始323K降低至最后的257.32K。两者曲线偏差还不小。

         下面是压力、温度、压力比、质量流量随时间的变化曲线，该图计算过程如下，先知道初始各状态，如初始压力，初始温度，初始压力比。用流量公式，计算当前时刻的质量流量，将乘以时间小量，得到，再用理想气体方程计算出，取当前时刻温度。由于这里当成是绝热放气过程，因此容器内气体温度也会变化，按公式的差分形式，将上述计算好的，当前温度，当前压力，代入后获得温度变化量，放气是对外界做功，因此气体温度下降。用当前压力减去，获得下一时刻压力；同理，获得下一刻温度。这样，壅塞(声速)状态下，各物理量的曲线就出来了。当压力比时，变为亚声速流，此式流量公式变为，按同样的数值计算方法，获得亚声速流下的各物理量随时间的变化曲线。

        从曲线可以看出，压力曲线是类似指数型下降的，温度指数型下降，压力比有点类似S型曲线，质量流量在声速阶段是一下凹的曲线，亚声速是上凸的曲线，图中中间连接点不太连续的情况是因为数值计算中，受时间小量的限制，计算到临界压力比时，并不会恰好等于0.5283，压力变化会有个台阶，显得不是那么“连续”。

        另外，整个放气过程时间为，对质量流量曲线进行积分，可以知道总流过的质量为，即，与算出来的还是一样。

        当然，压力差也可以完全用绝热公式 计算，得到的曲线如下图，好像更丝滑一些，整个放气过程时间为，积分算出总流过的质量仍为，即。

        这是《气动系统的基础特性与计算》一书中的“容腔充放气”的曲线图， 其中各物理量进行了无量纲化(无因次响应)。从图中可以看出，流量曲线和压力曲线跟上述推导和计算过程基本类似，唯一区别是，温度曲线它是会回升的，这是因为书本中考虑了放气过程与外界换热的过程，不是单纯的绝热条件。

        具体更可靠的计算，请读者参考GB/T 14513.3-2020中的方法。

4、结束语

        假如你能阅读到这里，说明你对该问题有着同样的困惑和思考，希望这篇文章对你有所帮助。当然，这也仅仅是我个人对书本和网上所能搜到资料进行整理、推导，并加上自己的理解，难免会有错漏之处，如果你认为该文章有错误的地方，欢迎各位大佬后台私信交流。

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