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有失真信源编码的数学模型如下图所示，将编码过程看成信息经过有扰信道传输的过程。信道输出 Y 即为编码输出。
对离散信道，用信道转移概率（条件概率）p(y|x)表示信道。
如BSC信道：
互信息
设有两个随机事件X和Y ,
- X取值于信源发出的离散消息集合
- Y取值于信宿收到的离散符号集合
$$ \left[\begin{array}{l} X \\ P \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ p\left(x_{1}\right) & p\left(x_{2}\right) & \cdots & p\left(x_{n}\right) \end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{l} Y \\ P \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \\ p\left(y_{1}\right) & p\left(y_{2}\right) & \cdots & p\left(y_{n}\right) \end{array}\right] $$
如果信道是无噪的,当信源发出消息 $x_{i}$ 后,信宿必能准确无误地收到该消息, 彻底消除对 $x_{i}$ 的不确定性, 所获得的信息量就是 $x_{i}$ 的自信息 $I(x_{i})$ ，即 $x_{i}$ 本身含有的全部信息。
一般而言，信道中总是存在着噪声和干扰，信源发出消息 $x_{i}$ ，通过信道后, 信宿只可能收到由于干扰作用引起的某种变形 $y_{j}$ 。(例如BSC信道，可能发出0收到1)
- 信宿收到 $y_{j}$ 后推测信源发出 $x_{i}$ 的概率 $p(x_{i} \mid y_{j})$ 称为后验概率。
- 信源发出消息 $x_{i}$ 的概率 $p(x_{i})$ 称为先验概率。
互信息定义
定义为 $x_{i}$ 的后验概率与先验概率比值的对数
$$ I(x_{i} ; y_{j})=\log _{2} \frac{p(x_{i} \mid y_{j})}{p(x_{i})} $$
$$ I(x_{i} ; y_{j})=\log \frac{p(x_{i} \mid y_{j})}{p(x_{i})}=\log \frac{p(x_{i} y_{j})}{p(x_{i}) p(y_{j})}=\log \frac{p(y_{j} \mid x_{i})}{p(y_{j})}=I(y_{j} ; x_{i}) $$
$$ I(x_{i} ; y_{j})=I(x_{i})-I(x_{i} \mid y_{j})=I(y_{j})-I(y_{j} \mid x_{i}) $$
互信息 $I(x_{i} ; y_{j})$ 表示接收到某消息 $y_{j}$ 后获得的关于事件 $x_{i}$ 的信息量。单位和自信息相同。
例 、某地二月份天气构成的信源为:
$$ \left[\begin{array}{c} X \\ p(x) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} \text { 晴 } & \text { 阴 } & \text { 雨 } & \text { 雪 } \\ 1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 8 & 1 / 8 \end{array}\right] $$
求得自信息量分别为
$$ I\left(x_{1}\right)=1 \text { bit }, I\left(x_{2}\right)=2 \text { bit }, I\left(x_{3}\right)=I\left(x_{4}\right)=3 \text { bit } $$
若得知 “今天不是晴天” ，作为收到的消息 $y_{1}$
当收到 $y_{1}$ 后, 各种天气发生的概率变成后验概率:
$$ p\left(x_{1} \mid y_{1}\right)=0, p\left(x_{2} \mid y_{1}\right)=1 / 2, p\left(x_{3} \mid y_{1}\right)=1 / 4, p\left(x_{4} \mid y_{1}\right)=1 / 4 $$
$$ \begin{array}{c} I\left(x_{1} ; y_{1}\right)=\log _{2} \frac{p\left(x_{1} \mid y_{1}\right)}{p\left(x_{1}\right)}=0 \\ I\left(x_{2} ; y_{1}\right)=\log _{2} \frac{p\left(x_{2} \mid y_{1}\right)}{p\left(x_{2}\right)}=\log _{2} \frac{1 / 2}{1 / 4}=\mathbf{1 b i t} \\ I\left(x_{3} ; y_{1}\right)=I\left(x_{4} ; y_{1}\right)=\log _{2} \frac{1 / 4}{1 / 8}=1 \mathrm{bit} \end{array} $$
表明从 $y_{1}$ 分别得到了 $x_{2} x_{3} x_{4}$ 各 1 比特的信息量。 消息 $y_{1}$ 使 $x_{2} x_{3} x_{4}$ 的不确定度各减少 1 bit。
互信息的性质
- 互易性 $I(x ; y)=I(y ; x)$
- 当事件 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ 统计独立时, 互信息为 0 , 即 $I(x ; y)=0$
- 互信息可正可负
- 任何两事件之间的互信息不可能大于其中任一事件的自信息(见上述公式3)
例：设 e 表示事件“降雨”， f 表示事件“空中有乌云”，且 （）=.，（|）=.
求：
- 事件“降雨”的自信息
- 在“空中有乌云”条件下，“降雨”的自信息
- 事件“无雨”的自信息
- 在“空中有乌云”条件下，“无雨”的自信息
- “降雨”与“空中有乌云”的互信息
- “无雨”与“空中有乌云”的互信息
解: $\bar{e}$ 表示 “无雨”, 则 $p(\bar{e})$= 1- p(e) = 0.875 , $p(\bar{e} \mid f)$ = 1- $p(e \mid f)$ = 0.2
故:
$$ I(e)=-\log (0.125)=3 b i t \\ I(e \mid f)=-\log (0.8)=0.322 b i t \\ I(\bar{e})=-\log (0.875)=0.193 bit\\ I(\bar{e} \mid f)=-\log (0.2)=2.322 b i t \\ I(e ; f)=I(e)-I(e \mid f)=3-0.322=2.678 b i t ; \\ I(\bar{e} ; f)=I(\bar{e})-I(\bar{e} \mid f)=0.193-2.322=-2.129 b i t $$
说明事件 “空中有乌云” 不利于事件 “无雨” 的出现。
参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.