FFT原理 & C++实现简单FFT代码

傅里叶变换的意义

为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？

用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有其他信号所不具备的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的，且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

傅立叶变换的物理意义在哪里？

傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。当然这是从数学的角度去看傅立叶变换。

所以，最前面的时域信号在经过傅立叶变换的分解之后，变为了不同正弦波信号的叠加，我们再去分析这些正弦波的频率，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

傅立叶变换提供给我们这种换一个角度看问题的工具，看问题的角度不同了，问题也许就迎刃而解！

FFT原理

计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，我们要讨论的FFT也只不过是DFT的一种快速的算法。

DFT的运算过程是这样的：

可见，在计算机上进行的DFT，使用的输入值是数字示波器经过ADC后采集到的采样值，也就是时域的信号值，输入采样点的数量决定了转换的计算规模。变换后的频谱输出包含同样数量的采样点，但是其中有一半的值是冗余的，通常不会显示在频谱中，所以真正有用的信息是N/2+1个点。

FFT的过程大大简化了在计算机中进行DFT的过程，简单来说，如果原来计算DFT的复杂度是NN次运算（N代表输入采样点的数量），进行FFT的运算复杂度是Nlg10(N)，因此，计算一个1,000采样点的DFT，使用FFT算法只需要计算3,000次，而常规的DFT算法需要计算1,000,000次！

典型的时域2分裂算法图示如下：

具体原理可以找一本数字信号处理的书籍来看。

频谱泄露：

所谓频谱泄露，就是信号频谱中各谱线之间相互干扰，使测量的结果偏离实际值，同时在真实谱线的两侧的其它频率点上出现一些幅值较小的假谱。产生频谱泄露的主要原因是采样频率和原始信号频率不同步，造成周期的采样信号的相位在始端和终端不连续。简单来说就是因为计算机的FFT运算能力有限，只能处理有限点数的FFT，所以在截取时域的周期信号时，没有能够截取整数倍的周期。信号分析时不可能取无限大的样本。只要有截断不同步就会有泄露。

避免频谱泄露的方法除了尽量使采集速率与信号频率同步之外，还可以采用适当的窗函数。

C++代码实现

只是参考大佬封装的代码雏形，后期优化地方很多，仅供参考

My_FFT.h

#pragma once
#include 
#include 


#define pi 3.1415926
using namespace std;

struct My_Complex {
	double real;
	double imag; //a:real b:Imagine
};


class My_FFT {

public:
	My_FFT();
	~My_FFT();

	
	vector<My_Complex> FFT(vector<double>& res);
	//返回对应频率和幅值
	vector<pair<double, double>> abs_FFT();

	//复数求和
	My_Complex comp_plus(My_Complex u, My_Complex v);

	//复数相乘
	My_Complex comp_times(My_Complex u, My_Complex v);
	//复数相减
	My_Complex comp_minus(My_Complex u, My_Complex v);
	//序数重排
	void rev();
	My_Complex Wn(double A, double B);
	void fft1(int l, int r, int len);
public:
	int N;						//Num of Sample Nodes
	double fs=512;					//Sample frequency
	vector<My_Complex> x, u, W;
	double f0;
};

My_FFT::My_FFT() {

}
My_FFT::~My_FFT() {

}


vector<My_Complex> My_FFT::FFT(vector<double>& res) {

	this->N = int(res.size());
	this->fs = fs;
	this->f0 = fs / N;

	My_Complex temp;

	for (int i = 0; i < N; i++) {

		u.push_back(temp);
		temp.real = res[i];
		temp.imag = 0;
		
		x.push_back(temp);
		
		W.push_back(Wn(N, i));//e^-j((2*pi*i)/N)
	}

	this->rev(); //reverse the original order 
	this->fft1(0, N - 1, N);


	return x;
}

vector<pair<double, double>> My_FFT::abs_FFT() {

	vector<pair<double, double>> ret;

	for (int i = 0; i < N ; i++) {
		double u, f;
		u = sqrt(x[i].real * x[i].real + x[i].imag * x[i].imag)*2/N;
		f = double(i) * f0;
		ret.push_back({ f ,u });
	}

	return ret;
}




//复数求和
My_Complex My_FFT::comp_plus(My_Complex u, My_Complex v) {
	My_Complex e;
	e.real = u.real + v.real;
	e.imag = u.imag + v.imag;
	return e;
}

//复数相乘
My_Complex My_FFT::comp_times(My_Complex u, My_Complex v) {
	My_Complex e;
	e.real = u.real * v.real - u.imag * v.imag;
	e.imag = u.real * v.imag + u.imag * v.real;
	return e;
}

//复数相减
My_Complex My_FFT::comp_minus(My_Complex u, My_Complex v) {
	My_Complex e;
	e.real = u.real - v.real; e.imag = u.imag - v.imag;
	return e;
}


//序数重排
void My_FFT::rev() { //reverse the sequence in bit order.  
	int len = log2(N);
	int idd, ret, bit;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		idd = i; ret = 0;
		for (int j = 0; j < len; j++) {
			ret = ret << 1;
			bit = idd & 1;
			idd = idd >> 1;
			ret = bit | ret;
		}
		u[i] = x[ret];
	}
	for (int i = 0; i < N; i++)
		x[i] = u[i];
}

My_Complex My_FFT::Wn(double A, double B) {
	My_Complex u;
	u.real = cos((2 * pi / A) * B); 
	u.imag = -sin((2 * pi / A) * B);
	return u;
}

void My_FFT::fft1(int l, int r, int len) {
	My_Complex tmp;
	int n = len / 2;
	if (len < 2) return; //Level 1 

	fft1(l, l + n - 1, n); //even seg process 
	fft1(l + n, r, n);	//odd seg process

	for (int i = l; i <= r; i++) {
		if (i < l + n) {
			u[i] = comp_plus(x[i], comp_times(W[(i - l) * (N / len)], x[i + n]));
		}
		else {
			x[i] = comp_minus(x[i - n], comp_times(x[i], W[(i - n - l) * (N / len)]));
			x[i - n] = u[i - n];
		}
	}
	return;
}

main.cpp

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 


#include "My_FFT.h"

using namespace std;




int main() {

	fstream  inFile1("./emulated_data.txt", ios::in);//创建一个fstream文件流对象
	vector<double> temp;
	vector<double> vx, vy, vz, p;
	string line;
	string field;
	while (getline(inFile1, line))//getline(inFile, line)表示按行读取CSV文件中的数据
	{
		line += " ";
		istringstream sin(line); //将整行字符串line读入到字符串流sin中
		while (getline(sin, field, '\t'))
		{
			temp.push_back(atof(field.c_str()));
		}
		vx.push_back(temp[0]);
		vy.push_back(temp[1]);
		vz.push_back(temp[2]);
		p.push_back(temp[3]);
		temp.clear();
	}

	My_FFT vxfft;
	vxfft.FFT(vx);
	vector<pair<double, double>> t;
	t=vxfft.abs_FFT();

	for (int i = 0; i < 512; i++) {
		cout << t[i].second << endl;//利用对象outfile往文件中写入数据
	}

	ofstream outfile("FD.txt", ios::trunc);//data.txt里面的内容会被清空

	for (int i = 0; i < 512; i++) {
		outfile << t[i].second << endl;//利用对象outfile往文件中写入数据
	}

	outfile.close();

	ofstream outfile1("TD.txt", ios::trunc);//data.txt里面的内容会被清空

	for (int i = 0; i < 512; i++) {


		outfile1 << vx[i] << endl;//利用对象outfile往文件中写入数据
		//the real Ampltude of the signal is the Amp of fft sequence times 2 divide N.
	}

	outfile1.close();

	return 0;
}

参考Couriersix
参考https://blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/52891807