数据结构——堆

何为堆？

• 堆（heap)：一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。

• 堆总是满足下列性质：

  1. 有序性：堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  2. 结构性：堆总是一棵完全二叉树。

• 将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

举例：

注意：从根结点到任意结点路径上结点序列都具有有序性！

2.堆的抽象数据类型描述

3.堆的基本操作（以具体堆为例）

下面以具体代码介绍堆的基本操作，给出了基本思想，代码中含具体注释。

3.1 堆的结构体定义

struct Heap
{
	int* data;//存储元素的数组
	int Size;//当前元素个数
	int Capcity;//堆的最大容量

};

3.2 创建空堆

//创建容量为maxSize的为空的最大堆
Heap* create_max_heap(int maxSize) {
	Heap* maxHeap = new Heap;
	maxHeap->data = new int[maxSize+1];//堆的下标从1开始，原因：相当于用数组存完全二叉树
	maxHeap->Size = 0;
	maxHeap->Capcity = maxSize;
	maxHeap->data[0] =INT_MAX; 
	//定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作
	return maxHeap;
}

3.3 向最大堆中插入元素

基本思想

1. 怎么插，插到哪？
   把新元素放入数组（堆）的最后一个位置，如下图的【6】那里
2. 插入之后怎么保证堆的有序性？
   不断与父节点比较大小，如果不符合堆的有序性就与父节点交换位置。不断比较，直到找到最终位置
   
3. 例如在上述最大堆中插入“58”元素：
   

代码实现

//向最大堆中插入元素data，其中maxHeap[0]已经定义为哨兵
void insert_max_heap(int data, Heap* maxHeap) {
	if (maxHeap->Size == maxHeap->Capcity) {
		cout << "堆已满" << endl;
		return;
	}
	int i = maxHeap->Size + 1 ; //i指向插入后堆中的最后一个元素的位置

	maxHeap->Size++;//将堆的大小加1


	//不断与父节点data[i/2]进行比较，直到找到一个父节点比它大
	for (; maxHeap->data[i / 2] < data; i = i / 2) {
		maxHeap->data[i] = maxHeap->data[i / 2];
		//向下过滤节点（比新元素小的父节点往下移）
	}

	//找到新元素应有的位置，并赋值
	maxHeap->data[i] = data;
}

时间复杂度

T (N) = O ( log N )

3.4最大堆的删除

删除操作结果：取出根结点（最大值）元素，同时删除堆的一个结点。

基本思想

1. 怎么删除，删除哪一个结点？
   取出根节点，删除最后一个结点（为保持二叉树的结构性），把最后一个结点的元素移到根节点。如下图，取出根节点【58】，把【31】移动到根节点，删除最后一个结点。
   

2. 第一步保持了堆的结构性，但有序性无法保证，接着维持有序：
   将新的根节点与左右节点中值最大的那个节点比较，不断交换，直到有序。
   流程如下图所示：
   将31与44和25中大的那个——44比较，发现44大，44上去，31下来；然后35又大，31继续下去。
   

代码实现

//在最大堆maxHeap中删除最大值，并放回该值
int delete_max(Heap* &maxHeap) {
	if (maxHeap->Size == 0)
	{
		cout << "堆空！" << endl;
		return -1;
	}

	//将堆的最后一个元素保存
	int temp = maxHeap->data[maxHeap->Size];
	
	maxHeap->Size--;
	int ans = maxHeap->data[1];
	int parent = 1;
	int child;
	/*for循环：用最大堆中最后一个元素从根节点开始向上过滤下层结点，就是为它找一个位置*/
	for (; parent * 2 <= maxHeap->Size; parent = child) {
		child = parent * 2;//child指向parent左孩子


		/*下面这个if将：child指向parent两孩子结点中值最大的那个*/
		if (child != maxHeap->Size //判断parent是否存在右孩子
			&& maxHeap->data[child + 1] > maxHeap->data[child])//
		{
			child = child + 1;
		}

		
		if (temp >= maxHeap->data[child])//位置找到了
		{

			break;
		}
		else
			maxHeap->data[parent] = maxHeap->data[child];
	}

	//最后赋值
	maxHeap->data[parent] = temp;
	
	return ans;//放回删除的最大值

}

时间复杂度

T (N) = O ( log N )

3.5 最大堆的建立问题

• 目的：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在 一个一维数组中
• 实现——两种方法
  1. 通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初 始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)。
  2. 在线性时间复杂度（O(n)）下建立最大堆。
     （1）将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
     （2）调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性。

方法一

方法一直接循环插入就好了：

//用插入建造一个堆
void Build_Heap(int list[], int size) {
	Heap* maxHeap = create_max_heap(size);
	for (int i = 0; i < size; i++)
		insert_max_heap(list[i], maxHeap);	
}

方法二

方法二中关键是调整，这与堆的删除操作很相似。

1. 我们先分析下堆的删除操作:
   堆的删除操作是将最后一个结点移到根节点，然后下滤调整。
   其中：当最后一个结点移到根节点时，有一个特征——其左右子树都是堆。实际上，我们在堆里面执行最多的一个操作是：已知左边是一个堆，右边是一个堆，又新来了一个元素，怎么把它调成一个堆（方法就是前面堆的删除用到的方法）。堆的建立也是用到了这个方法
2. 我们再看如何在建堆的过程中用上面的方法：
   在开始的时候 “将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性 ”，这个时候元素是杂乱放入的，左边可能不是个堆，右边也不是一个堆。那怎么办？
   我们从底下开始，从倒数第一个有儿子的节点开始，对于这个节点，其左右子树最多只有一个儿子，那么其左右子树一定是一个堆。（如下图，从87节点开始，其左右子树都满足堆的特性）
3. 就这样一直“从下到上”不断调整，直到调到根节点