十三、滤波与傅立叶分析

许多应用于功能磁共振成像数据的操作都是为了从图像中去除特定类型的信号或噪声。我们称这些操作为过滤，因为它们涉及特定类型信息的选择性传输，就像咖啡过滤器允许液体通过但保留固体一样。基于傅立叶分析的概念，通常在频域而不是在空间/时间域中指定滤波操作。

1. 傅里叶分析

许多不同类型的滤波器可以应用于数据，但成像中使用的大多数滤波器被设计为允许频谱的特定部分(或频带)通过，同时去除其他部分。高通滤波器在保留高频信号的同时去除低频信息，而低通滤波器则相反。图2.12显示了在时域和频域对时间序列进行滤波的示例，图2.13显示了对MRI图像进行滤波的效果示例。

2.12 傅立叶分析的一个例子。左边的曲线图显示时间序列，右边的曲线图显示该时间序列的功率谱。顶部图像显示原始数据，第二行显示信号的低通滤波版本，第三行显示高通滤波版本。

2.13 应用于T1加权MRI图像的过滤器示例；原始图像显示在左侧，过滤版本显示在右侧。低通滤波器模糊图像，而高通滤波器增强图像的边缘。

2. 卷积

另一种理解滤波的方法是根据卷积的概念。卷积可以被认为是当一个函数经过另一个信号并且它们的重叠在每个点相加时发生的事情。例如，我们可能希望使用高斯函数模糊图像，以便新图像中每个点的值是由高斯加权的周围值的平均值。这可以通过将图像与高斯函数（通常称为高斯核）进行卷积来实现，如图2.14所示。卷积对于理解fMRI中神经活动和血流之间的关系至关重要，在fMRI中，期望的fMRI信号是刺激函数和血流动力学响应函数之间的卷积。

2.14 卷积的一个例子。左面图像显示了用于卷积的三个不同内核。单位核在中心点有正值，在其他地方有零点，而高斯核从中心逐渐扩散。创建了一个随机信号，并将其与这些内核中的每一个进行卷积，结果显示在右侧图像中。与身份核的卷积精确地返回原始数据，而与高斯核的卷积导致数据平滑，更广泛的核具有更大的平滑度。

以上内容来自《Handbook of functional MRI Data Analysis》。