c++之位运算（详解，初学者绝对能看懂）

目录

一  位运算符号

移位运算：

二  常用技巧：

三  运算符号优先级：

四    位运算常用技巧

1   判断奇偶性

2  求a的b次方

3  找处未重复的数

4  用O(1)时间检测整数n是否是2的幂次.

5  计算在一个 32 位的整数的二进制表示中有多少个 1

6 快速幂

7 二进制状态压缩

8 二进制优化递归

9 一道经典题

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一  位运算符号

&
按位与
如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0
|
按位或
两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1
^
按位异或
若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
~
取反
~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1

举例：

     1000101             1000101         1000101         1000101

&   0101100           |  0101110      ~                     ^ 0101110

=   0000100           = 1101111       = 0111010         1101011

移位运算：

<<
左移
用来将一个数的各二进制位全部左移n位，低位以0补充，高位越界后舍弃。

        1左移n位：                    1 << n=2^n(这里指2的n次方)

         n左移1位：                    n << 1=2*n

举例：

       short a=9115         0010001110011011   (9115的二进制表示)

       a << 1 =18230       0100011100110110   (注意高位越界后舍弃一个0，低位填充一个0)

       a << 2  = -29076    1000111001101100   (注意高位越界后舍弃两个0，低位填充两个0）

注意：左移是做乘2的运算，但这是在符号位（原码将最高位符号以0表示正，1表示负eg:0010001110011011中的最高位0就是符号位，表示是整数；而1000111001101100最高位是1，表示是负数）不变的情况下。如果符号位发生了改变，说明已经不能做乘2的运算了，否则会溢出，得到的值不是乘2的结果。

注意：short是Java中的表示，它定义的也是整形，不过是16字节（这里为了阐述符号位的改变而使用）,而int是32字节

>>
右移
将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，高位以符号位填充

        n左移1位 ：                     n >> 1=|n/2.0| 

        算术右移等于除以2向下取整，（-3）>> 1 = -2       ,3 >> 1 = 1

        值得一提的是，“整数/2”在c++中实现为“除以2向零取整”，（-3）/  2  =  -1，3 / 2 = 1

举例：

short b = 9115                  0010001110011011 

(9115 >> 1) = 4557          0001000111001101（注意低位越界后舍去了一个1，高位补一0） 

(9115 >> 2) = 2278          0000100011100110  (注意低位越界后舍去了两个1，高位补两0）

short c=-32766(负数符号位为1) 1000000000000010

-32766 >> 1 = -16383                 1100000000000001(注意低位越界后舍弃一个0,高位补1)

-32766 >> 2 = -8192                   1110000000000000(注意低位越界后舍弃0和1,高位补俩1)

二  常用技巧：

 在m位二进制数中，通常称最低为为第0位，从右到左依次类推，最高位为第m-1位

(n >> k) & 1   求n二进制下的第k位是0还是1，若结果为真，是1，若结果为假，是0。因为1的二进制数中只有第0位数是1，其余位数都是0。

n^=1,，即n=n^1,能让n变成与原来相反的数（0或1）

n | (1 << k)，能把n的第k位变成1

a^b^b=a

x=x&(x-1)用于消去x的最后一位

三  运算符号优先级：

加减优先级最高，位或优先级最低，从左往右优先级递减

加减    移位      比较大小      位与     异或        位或

+，-    <<,>>    >,<,==,!=        &          ^               |

四    位运算常用技巧

1   判断奇偶性

如果把 n 以二进制的形式展示的话，其实我们只需要判断最后一个二进制位是 1 还是 0 就行了，如果是 1 的话，代表是奇数，如果是 0 则代表是偶数，所以采用位运算的方式的话，代码如下：

if(n&1){    //若n&1==1(为真)
   //n是奇数
}
if(!(n&1)){ //若n&1!=1(为假)
  //n是偶数
}

2  求a的b次方

本题涉及数论数论数论，在次不详细解释，有兴趣的话可以自己了解.

int pow(int a,int b){
    int ans = 1;
    while(b != 0){
        if(b & 1 == 1){
            ans *= a;
        }
        a *= a;
        b = b >> 1;
    }
    
    return ans;
}

注意，若数据过大，应改为long  long

举例： b = 13，则 b 的二进制表示为 1101, 那么 a 的 13 次方可以拆解为:

a^1101 = a^0001 * a^0100 * a^1000。

我们可以通过 & 1和 >>1 来逐位读取 1101，为1时将该位代表的乘数累乘到最终结果。

这样时间复杂度是O(logn)，比库里的pow函数O(n)快

3  找处未重复的数

数组中，只有一个数出现奇数次，剩下都出现偶数次，找出出现奇数次的。

思路：两个相同的数异或的结果是 0，一个数和 0 异或的结果是它本身，所以我们把这一组整型全部异或一下。也就是说，那些出现了偶数次的数异或之后会变成0，那个出现奇数次的数，和 0 异或之后就等于它本身。

#include
using namespace std;
int main(){
    int a[9]={4,3,2,2,2,2,5,4,3};
    int ans=0;
    for(int i=0;i<9;i++){
        ans^=a[i];
    }
    cout<

4  用O(1)时间检测整数n是否是2的幂次.

思路：

• n如果是2的幂次，则：
  1.n>0
  2.n的二进制表示中只有一个1
  一位n的二进制表示中只有一个1，所以使用n&(n-1)将唯一的一个1消去。
  如果n是2的幂次，那么n&(n-1)得到结果为0，即可判断。
• eg: 8的二进制位1000，7的二进制位0111，8&7==0，所以8是2的幂次

• #include
  using namespace std;
  int main(){
      int n;
      cin>>n;
      if(!(n&(n-1))) cout<<"YES";
      if(n&(n-1)) cout<<"NO";
      return 0;
  }
  

5  计算在一个 32 位的整数的二进制表示中有多少个 1

思路：

由 x & (x-1) 消去x最后一位知。循环使用x & (x-1)消去最后一位1，计算总共消去了多少次即可

#include
using namespace std;
int get(int num) {
    // write your code here
    int count =0;
    while(num){
        count ++;
        num = num&(num-1);
        cout<>n;
    cout<

6 快速幂

int ksm(int a,int b)//快速幂函数
{
    int ans=1;
    a%=Mod;
    while(b)
    {
        if (b&1)
            ans=ans%Mod*a;
        a=a%Mod*a%Mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

7 二进制状态压缩

       二进制状态压缩是指讲一个长度为m的bool数组用一个m位二进制整数表示并存储的方法。利用下列位运算操作可以实现bool数组对应下标元素的存取。

取出整数n在二进制表示下的第k位                              ( n >> k ) & 1

取出整数n在二进制表示下的第0~k-1位（后k位）      n & ( ( 1 << k ) - 1 )

把整数n在二进制表示下的第k位取反                          n ^  (1 << k)

对整数n在二进制表示下的第k位赋值1                        n | ( 1 << k )

对整数n在二进制表示下的第k位赋值0                        n & ( ~ ( 1 << k ) )

      最短Hamilton路径

给定一张 nn 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 n。

接下来 n行每行 n个整数，其中第 i 行第 j个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。

对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

1≤n≤20
0≤a[i,j]≤10^7

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例：

18

思路：在任意时刻如何表示哪些点已经被经过，哪些点没有哦被经过？可以使用一个n位二进制数，若其第i位（0<=i

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=20,M=1<>n;

    for(int i=0;i>w[i][j];

    memset(f,0x3f,sizeof(f));//因为要求最小值，所以初始化为无穷大
    f[1][0]=0;//因为零是起点,所以f[1][0]=0;

    for(int i=0;i<1<>j&1)//i的第j位（二进制）是1
       for(int k=0;k>k&1)//第k位有点存在
          //f[state][j]=f[state_k][k]+w[k][j]; 
          //state_k表示state除去j后的集合,k表示停在第k个点上，state_k要包含k
         f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<

8 二进制优化递归

从 1∼n这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

输入一个整数 n。

输出格式

每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好 1 个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围

1≤n≤15

输入样例：

3

输出样例：

3
2
2 3
1
1 3
1 2
1 2 3

用一个二进制数表示选了哪些数，替代之前的a[20]数组
其中 state |= 1 << (i - 1) 代表状态的改变，选了i这个数
state ^= 1 << (i - 1) 代表状态的还原，还原没选i这个数的状态

#include 
using namespace std;

int n;
bool vis[20];

void dfs(int pos, int start, int tar, int state) {
    if (pos == tar + 1) {
        for (int j = 0; j < n; j ++ ) {
            if (state >> j & 1) cout << j + 1 << " ";
        }
        cout << endl;
        return ;
    }

    for (int i = start; i <= n; i ++) {
        if (!vis[i]) {
            vis[i] = true; state |= 1 << (i - 1);
                dfs (pos + 1, i + 1, tar, state);
            vis[i] = false;state ^= 1 << (i - 1);
        }
    }
}

int main() {
    cout << endl;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        dfs(1, 1, i, 0);
    return 0;
}

当然，这道题也可以用二进制状态压缩来写

思路：题目要求的结果是2^n个
这2^n个选择情况，对应于一个n位的2进制数的各个位取0或取1的情况。
例中n=3，即
000 -> \n
001 -> 1
010 -> 2
100 -> 3
011 -> 1 2
101 -> 1 3
110 -> 2 3
111 -> 1 2 3

#include 
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    // state 是每一个状态
    for (int state = 0; state < 1 << n; state ++ ) {
        // 用指针j遍历二进制数state中的每一位
        for (int j = 0; j < n; j ++ ) {
            if (state >> j & 1) cout << j + 1 << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

9  一道经典题

起床困难综合症：

21 世纪，许多人得了一种奇怪的病：起床困难综合症，其临床表现为：起床难，起床后精神不佳。

作为一名青春阳光好少年，atm 一直坚持与起床困难综合症作斗争。

通过研究相关文献，他找到了该病的发病原因： 在深邃的太平洋海底中，出现了一条名为 drd 的巨龙，它掌握着睡眠之精髓，能随意延长大家的睡眠时间。

正是由于 drd 的活动，起床困难综合症愈演愈烈， 以惊人的速度在世界上传播。

为了彻底消灭这种病，atm 决定前往海底，消灭这条恶龙。

历经千辛万苦，atm 终于来到了 drd 所在的地方，准备与其展开艰苦卓绝的战斗。

drd 有着十分特殊的技能，他的防御战线能够使用一定的运算来改变他受到的伤害。

具体说来，drd 的防御战线由 n扇防御门组成。

每扇防御门包括一个运算 op 和一个参数 t，其中运算一定是 OR,XOR,AND 中的一种，参数则一定为非负整数。

如果还未通过防御门时攻击力为 x，则其通过这扇防御门后攻击力将变为 x op t。

最终 drd 受到的伤害为对方初始攻击力 x 依次经过所有 n 扇防御门后转变得到的攻击力。

由于 atm 水平有限，他的初始攻击力只能为 0到 m 之间的一个整数（即他的初始攻击力只能在 0,1,…,m中任选，但在通过防御门之后的攻击力不受 m 的限制）。

为了节省体力，他希望通过选择合适的初始攻击力使得他的攻击能让 drd 受到最大的伤害，请你帮他计算一下，他的一次攻击最多能使 drd 受到多少伤害。

输入格式

第 1 行包含 2 个整数，依次为 n,m，表示 drd 有 n 扇防御门，atm 的初始攻击力为 0 到 m 之间的整数。

接下来 n 行，依次表示每一扇防御门。每行包括一个字符串 op 和一个非负整数 t，两者由一个空格隔开，且 op 在前，t 在后，op 表示该防御门所对应的操作，t 表示对应的参数。

输出格式

输出一个整数，表示 atm 的一次攻击最多使 drd 受到多少伤害。

输入样例：

3 10
AND 5
OR 6
XOR 7

输出样例：

1

样例解释

atm可以选择的初始攻击力为 0,1,…,10

假设初始攻击力为 44，最终攻击力经过了如下计算

4 AND 5 = 4

4 OR 6 = 6

6 XOR 7 = 1

类似的，我们可以计算出初始攻击力为 1,3,5,7,9时最终攻击力为 0，初始攻击力为 0,2,4,6,8,10 时最终攻击力为 1，因此 atm 的一次攻击最多使 drd 受到的伤害值为 1。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
pair a[N];
int n,m;
int calc(int bit,int now){// 代表现在运算的是二进制的第几位， now有两种情况，需要运算过后返回
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=a[i].second>>bit&1;
      //求参数的第k位是0还是1  首先取出第i次运算中的第几位进行二进制运算
        if(a[i].first=="AND") now=now&x;
        else if(a[i].first=="OR") now=now|x;
        else now=now^x;
    }
    return now;// 现在返回的就是运算过后的二进制位
}
/*本题思路
如果该位填 1 后，所得到的数大于 m，那么该位填 !u
（已经填好的更高位构成的数值加上1<>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        char str[5];
        scanf("%s%d",str,&x);
        a[i]=make_pair(str,x);
    }
    int val=0,ans=0;
    for(int bit=29;bit>=0;bit--){
   //因为本题中 m 最大是 10 ^ 9，log2(10 ^ 9) = 3log2(10 ^ 3) < 3 * 10 = 30
    //所以每次 i 从 29 往后枚举就可以了m最多有29个二进制位，直接从高位到低位枚举每一位
        int res0=calc(bit,0);
        int res1=calc(bit,1);
        if(val+(1<

参考《算法竞赛进阶指南》