2022-01-28-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 斐波那契(Fibonaccia)数列 P059 例04）
设函数.证明:
(1)对任意正整数,都有是上的递增函数;
(2),这里是Fibonacci数列
证明
证明为表述方便,我们记是,从局部出发来讨论这个函数迭代问题.
(1)熟知函数在上单调递增,因此,函数在上单调递增.
注意到,是上的增函数,依此可知,对任意,函数都是上的增函数,结合在上递增,可知也是上的增函数.
利用上述结论可知,
当为奇数时,
是个上的增函数之和.
当为偶数时,与都是上的增函数,因此,也是上的增函数.
所以,对任意,都是上的增函数.
(2)由的定义可知,我们只需证明:对任意,都有(这里).
利用,可知当、时命题成立.
现设
(即命题对成立),则由
可知,故
所以,(2)成立.
2022-01-28-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 斐波那契(Fibonaccia)数列 P060 例05）
考虑数列:,,,,这里、为实数.若存在正整数、,,使得,则称实数为“双重值”.证明:存在实数、,使得至少存在2000个不同的“双重值”.进一步,证明:不存在、,使得存在无穷多个“双重值”.
证明
我们利用Fibonaccia数列来构造一个具有2000个不同的“双重值”的数列.
想法是将依现有的递推式向负整数下标延拓,可得
依此下去,可知,,.
于是,对任意,令,,那么,数列为
.数都是的“双重值”.特别地,取即可找到符合要求的.
另一方面,若存在、,使得有无穷多个不同的“双重值”,则中任意相邻两项不同号(否则,数列从这相邻两项的下一项起变为一个严格递增(或严格递减)的数列,不能出现无穷多个不同的“双重值”)注意到,的特征方程(也就是Fibonaccia数列的特征方程)为,有两个不同的实根,因而可设
由于,,如果,那么充分大时,都有,从而会出现都为正数的相邻两项;同样地,若,则中会出现同为负数的相邻两项.均导致矛盾.所以,进而,结全知,数列是一个单调递减的数列,在时不出现“双重数”,而时,只有一个“双重数”.
综上可知,命题成立.
2022-01-28-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 斐波那契(Fibonaccia)数列 P061 例06）
将Fibonacci数列的项依次排列;将所有的孪生素数(若与都是素数,则称与为孪生素数)从小到大排列.求在这两个数列中都出现的正整数.
解
对比两个数列的前面若干项,可发现只有3、5和13在两个数列中出现,猜测这是所有要求的正整数.鉴于孪生素数组成的数列的规律性难以把握,要证上述猜测,应从Fibonaci数列的性质着手,如果比较大时,要么为合数,要么都是合数,那么不在孪生素数数列中出现.依此想法着手,先要猜出Fibonacci数列的一些性质.
将Fibonacci数列的前面一些项列出
发现(时)都是合数,而(时)也都是合数,并且有如下的一些关系式
(1),这里;
(2);
(3);
(4);
(5).
注意到,如果上述5个关系式成立,那么在两个数列中出现的数只有3、5和13.现在用数学归纳法证明(1)—(5)都成立.
当时,利用前表中所列数据可知(1)—(5)都成立.现设(1)—(5)对不超过的情形都成立,则由Fibonacci数列的递推式,对的情形,有
即
同理可证,
即
故由()(*)可知,(1)对、成立,因此,对所有成立.
即(2)对成立.类似地可证(3)、(4)、(5)对成立(具体验证过程请读者完成).
综上可知,(1)(5)对任意成立.所以,只有3、5和13在两个数列中同时出现.