1.2 几种常用的数制
学习目标：
学习几种常用的数制可以通过以下步骤进行：
1. 确定目标数制：常用的数制包括十进制、二进制、八进制和十六进制。首先，确定你想要学习的数制是哪一种。
2. 理解基本概念：了解每种数制的基本概念是非常重要的。例如，十进制是我们日常生活中最常用的数制，它使用0到9的十个数字。二进制是计算机系统中使用的数制，只使用0和1两个数字。
3. 学习转换方法：掌握不同数制之间的转换方法。例如，学习如何将十进制数转换为二进制、八进制或十六进制数，以及如何将其他数制的数转换为十进制数。
4. 练习转换实例：通过大量的练习来加深对数制转换的理解。可以使用练习题、在线工具或编程语言来进行转换实例的练习。
5. 探索应用领域：了解各种数制在实际应用中的用途。例如，二进制在计算机科学和电子工程中具有重要作用，而十六进制常用于表示内存地址和颜色值。
6. 深入学习：如果你对数制感兴趣，可以进一步学习更高级的概念，如补码表示、浮点数表示等。
7. 实践应用：将所学的数制知识应用于实际问题。例如，尝试编写一个程序，将一个给定的十进制数转换为其他数制，或者尝试解决一个使用不同数制表示的问题。
总的来说，学习几种常用的数制需要理解基本概念，掌握转换方法，并进行实践应用。通过持续的练习和实践，你将能够更好地理解和应用不同的数制。
一、十进制
十进制是我们日常生活中最常用的数制，也被称为"基数为10的数制"。它使用了0到9这十个数字来表示数值。十进制是一种位置计数法，其中每个数字的权重是10的幂次方。
在十进制数中，数字的位置从右向左增加，每个位置上的数字与10的幂次方相关联。例如，一个三位数的十进制数可以表示为：百位数（10^2）、十位数（10^1）和个位数（10^0）。
以下是一个十进制数的例子及其权重：
342 = 3 × 10^2 + 4 × 10^1 + 2 × 10^0
在这个例子中，数字3位于百位上，它的权重是10的平方（即100）。数字4位于十位上，它的权重是10的一次方（即10）。数字2位于个位上，它的权重是10的零次方（即1）。
十进制数具有一些特点和优势：
1. 直观易懂：十进制数是我们最为熟悉和直观的数制，与我们日常生活和计算方式一致，因此容易理解和使用。
2. 十进制运算：在十进制中进行加法、减法、乘法和除法等运算非常直观和简单。十进制数在数学和商业应用中广泛使用。
3. 小数表示：十进制还可以表示小数，小数点的位置表示了小数的权重。例如，0.25表示1/4，0.5表示1/2。
4. 可读性：十进制数易于阅读和理解，对于人类来说更容易识别数值的大小。
尽管十进制是最常用的数制之一，但在某些领域，如计算机科学和电子工程，其他数制如二进制、八进制和十六进制也非常重要。了解和掌握不同的数制有助于更好地理解数学概念、编程和电子电路等领域的工作。
二、二进制
二进制是一种基于二进制数字系统的数制，也被称为"基数为2的数制"。它使用了两个数字 0 和 1 来表示数值。二进制是计算机科学中最基础和最重要的数制，因为计算机内部使用二进制来存储和处理数据。
在二进制数中，数字的位置从右向左增加，每个位置上的数字与2的幂次方相关联。例如，一个四位数的二进制数可以表示为：千位数（2^3）、百位数（2^2）、十位数（2^1）和个位数（2^0）。
以下是一个二进制数的例子及其权重：
1011 = 1 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0
在这个例子中，数字1位于千位上，它的权重是2的三次方（即8）。数字0位于百位上，它的权重是2的二次方（即4）。数字1位于十位上，它的权重是2的一次方（即2）。数字1位于个位上，它的权重是2的零次方（即1）。
二进制数具有一些特点和优势：
1. 逻辑简单：二进制只有两个数字 0 和 1，运算规则简单明确，适合于逻辑运算和电路设计。
2. 计算机表示：计算机内部的处理和存储是以二进制形式进行的。二进制数可以直接映射到计算机内部的电子开关状态。
3. 位运算：二进制数可以进行位运算，如与（AND）、或（OR）、异或（XOR）等操作，这在计算机编程中非常有用。
4. 存储优势：相比十进制数，二进制数在存储和传输时占用的空间更小。
5. 适用于逻辑问题：二进制数在逻辑和信息理论中具有广泛应用，如布尔代数、编码和密码学等领域。
了解二进制数和二进制运算对于理解计算机原理、数据表示和算法等方面非常重要。在编程、网络和电子工程等领域中，使用二进制数来解决问题和进行数据处理是常见的。
三、八进制
八进制是一种基于八进制数字系统的数制，也被称为"基数为8的数制"。它使用了0到7这八个数字来表示数值。八进制是一种在计算机编程和电子领域中常用的数制，尤其在UNIX系统和文件权限控制中广泛应用。
在八进制数中，数字的位置从右向左增加，每个位置上的数字与8的幂次方相关联。例如，一个三位数的八进制数可以表示为：百位数（8^2）、十位数（8^1）和个位数（8^0）。
以下是一个八进制数的例子及其权重：
346 = 3 × 8^2 + 4 × 8^1 + 6 × 8^0
在这个例子中，数字3位于百位上，它的权重是8的平方（即64）。数字4位于十位上，它的权重是8的一次方（即8）。数字6位于个位上，它的权重是8的零次方（即1）。
八进制数具有一些特点和优势：
1. 紧凑表示：相比于十进制和二进制数，八进制数在表示相同数值时更加紧凑，占用的空间更小。
2. 方便转换：八进制数与二进制数之间有着直接的转换关系，每三位八进制数可以对应一位二进制数。这种转换关系对于计算机内部的数据处理和存储很有用。
3. 文件权限控制：在UNIX和类UNIX系统中，文件的权限控制使用八进制表示。例如，权限设置为755表示拥有者具有读、写和执行权限（7），而组和其他用户具有读和执行权限（5）。
4. 存储优势：相比于十进制数，八进制数在存储和传输时占用的空间更小，特别在早期计算机系统中，存储和处理八进制数更加高效。
尽管八进制数在计算机系统中有一定的应用，但在现代计算机科学中，十进制和二进制更为常见。了解八进制数仍然对于理解计算机的历史和某些特定领域中的问题解决方案非常有价值。
四、十六进制
十六进制是一种基于十六进制数字系统的数制，也被称为"基数为16的数制"。它使用了0到9这十个数字以及字母 A 到 F（或 a 到 f）来表示数值。十六进制在计算机科学、网络通信、颜色表示等领域被广泛使用。
在十六进制数中，数字的位置从右向左增加，每个位置上的数字与16的幂次方相关联。除了0到9的十个数字，字母 A 到 F 表示数字 10 到 15。例如，一个三位数的十六进制数可以表示为：256位数（16^2）、16位数（16^1）和个位数（16^0）。
以下是一个十六进制数的例子及其权重：
3A7 = 3 × 16^2 + 10 × 16^1 + 7 × 16^0
在这个例子中，数字3位于256位上，它的权重是16的平方（即256）。字母 A（或 a）位于16位上，它的权重是16的一次方（即16）。数字7位于个位上，它的权重是16的零次方（即1）。
十六进制数具有一些特点和优势：
1. 紧凑表示：相比于二进制数，十六进制数在表示相同数值时更加紧凑，占用的空间更小。每个十六进制数位对应于四位二进制数位。
2. 与二进制转换：十六进制数与二进制数之间有直接的转换关系。每个十六进制数位可以对应四位二进制数位。这种转换关系对于计算机内部的数据处理、存储和表示十分有用。
3. 颜色表示：在计算机图形学和网页设计中，颜色值通常使用十六进制表示。例如，常见的 HTML 颜色表示方式就是以十六进制值来指定颜色。
4. 内存地址表示：在计算机体系结构中，内存地址常用十六进制表示。十六进制可以更直观地表示大地址范围，并且便于在调试和分析过程中进行定位和操作。
尽管十六进制数在计算机科学和工程中具有重要作用，对于一般日常计算和数学运算来说，十进制数仍然是最常用的数制。了解和掌握十六进制数对于理解计算机底层原理、编程和网络通信等领域非常重要。
总结：
1. 十进制（Decimal）：十进制是我们日常生活中最常用的进制，使用了0到9这十个数字来表示数值。它是一种基数为10的数制，每个位置上的数字与10的幂次方相关联。十进制在数学和商业领域广泛使用，适合进行常规计算和表达数值大小。
2. 二进制（Binary）：二进制是计算机科学中最基础和最重要的进制，使用了0和1这两个数字来表示数值。它是一种基数为2的数制，每个位置上的数字与2的幂次方相关联。二进制在计算机内部数据处理和存储中使用广泛，适合进行逻辑运算和位操作。
3. 八进制（Octal）：八进制使用了0到7这八个数字来表示数值。它是一种基数为8的数制，每个位置上的数字与8的幂次方相关联。八进制在计算机领域中有一定的应用，尤其在UNIX系统和文件权限控制中使用较多。
4. 十六进制（Hexadecimal）：十六进制使用了0到9这十个数字以及字母 A 到 F（或 a 到 f）来表示数值。它是一种基数为16的数制，每个位置上的数字与16的幂次方相关联。十六进制在计算机科学、网络通信、颜色表示等领域广泛使用，适合表示大范围的数值和方便转换为二进制。
这些进制在不同领域和应用中具有各自的特点和优势。了解和掌握不同进制的转换和运算有助于更好地理解数学概念、计算机原理和编程等领域的工作。
复习思考题
R1.2.1 写出4位二进制数、4位半进制数和四位十六进制数的最大数
R1.2.2 和十进制等值
四位二进制数的最大数是 1111，它转换为十进制数为 15。
四位八进制数的最大数是 7777，它转换为十进制数为 4095。
四位十六进制数的最大数是 FFFF，它转换为十进制数为 65535。
