数学模型：Python实现差分方程
上篇文章：微分方程
文章摘要：差分方程的Python实现。
参考书籍：数学建模算法与应用(第3版)司守奎 孙玺菁。
PS1：只涉及了具体实现并不涉及底层理论。没有给出底层理论参考书籍的原因是不想做这个方向吧。所以对我只要掌握基本模型有个概念那就好了。
PS2：这里跳过数理统计直接来到差分方程那是因为：数理统计是机器学习的基础，数理统计想要好好学习一下。之后的支持向量机放在机器学习部分，再之后的章节遇到大型数学建模竞赛再来补充。结束差分方程暂时结束这个专栏学习。
文章声明：如有发现错误，还望批评指正。
文章目录
- 贷款问题
- 养老保险
同样由于这个博主不感兴趣，我们只选几个典型案例来做。
贷款问题
参考书籍例8.1
某消费者需贷款30万元，期限30年，年利率5.1%，采用固定额度还款，每月应还多少贷款。
模型建立：
记 y n y_n yn为第n个月的欠款总额； r = 0.051 12 × 100 % = 0.425 % r=\frac{0.051}{12}\times100\%=0.425\% r=120.051×100%=0.425%为月利率， N N N为360月， Q Q Q为贷款总额。
{ y n = ( 1 + r ) y n − 1 − x , n = 1 , 2 , … , N y 0 = Q \left\{\begin{matrix}y_n=(1+r)y_{n-1}-x,n=1,2,\dots,N\\y_0=Q\end{matrix}\right. {yn=(1+r)yn−1−x,n=1,2,…,Ny0=Q
模型求解：
y n = ( 1 + r ) n y 0 − x ( 1 + r ) n − 1 r y_n=(1+r)^ny_0-x\frac{(1+r)^n-1}{r} yn=(1+r)ny0−xr(1+r)n−1
因为 y 360 = 0 y_{360}=0 y360=0，所以有：
x = ( 1 + r ) 360 Q r ( 1 + r ) 360 − 1 x=\frac{(1+r)^{360}Qr}{(1+r)^{360}-1} x=(1+r)360−1(1+r)360Qr
Q=300000;r=0.051/12;N=360
print((pow(1+r,N)*Q*r)/(pow(1+r,N)-1))
#1628.849320201216
像这种有解析解，就挺好的。
养老保险
参考书籍例8.5
某保险公司的一份材料指出，在每月交200元到59岁末60岁开始领取养老金约定下，男子25岁开始投保届时月养老金2282元。假定人的寿命75岁，试求保险公司为了兑现责任，每月至少应该有多少投资收益率。
模型建立：
记 F k F_k Fk表示投保人在投保后第k个月所交保险费及收益累计总额， p p p为缴费期间费用， q q q为养老期间支出。
F k + 1 = F k ( 1 + r ) + p , k = 0 , 1 , … , N − 1 F k + 1 = F k ( 1 + r ) − q , k = N , N + 1 , … , M − 1 F_{k+1}=F_{k}(1+r)+p,k=0,1,\dots,N-1\\F_{k+1}=F_k(1+r)-q,k=N,N+1,\dots,M-1 Fk+1=Fk(1+r)+p,k=0,1,…,N−1Fk+1=Fk(1+r)−q,k=N,N+1,…,M−1
模型解得：
F k = [ ( 1 + r ) k − 1 ] p r , k = 0 , 1 , … , N , F k = q r [ 1 − ( 1 + r ) k − m ] , k = N + 1 , N + 2 , … , M , F_k=[(1+r)^k-1]\frac{p}{r},k=0,1,\dots,N,\\F_k=\frac{q}{r}[1-(1+r)^{k-m}],k=N+1,N+2,\dots,M, Fk=[(1+r)k−1]rp,k=0,1,…,N,Fk=rq[1−(1+r)k−m],k=N+1,N+2,…,M,
带入则有：
F N = [ ( 1 + r ) N − 1 ] p r F N + 1 = q r [ 1 − ( 1 + r ) N + 1 − M ] , F_N=[(1+r)^N-1]\frac{p}{r}\\F_{N+1}=\frac{q}{r}[1-(1+r)^{N+1-M}], FN=[(1+r)N−1]rpFN+1=rq[1−(1+r)N+1−M],
由于 F N + 1 = F N ( 1 + r ) − q F_{N+1}=F_N(1+r)-q FN+1=FN(1+r)−q因此得：
q r [ 1 + ( 1 + r ) N + 1 − M ] = [ ( 1 + r ) M − 1 ] p r ( 1 + r ) − q \frac{q}{r}[1+(1+r)^{N+1-M}]=[(1+r)^M-1]\frac{p}{r}(1+r)-q rq[1+(1+r)N+1−M]=[(1+r)M−1]rp(1+r)−q
化简得：
( 1 + r ) M − ( 1 + q p ) ( 1 + r ) M − N + q p = 0 (1+r)^M-(1+\frac{q}{p})(1+r)^{M-N}+\frac{q}{p}=0 (1+r)M−(1+pq)(1+r)M−N+pq=0
像这种没显示解得，就不好了。很多方法可以求解，例如二分。但是这里我们还是调用API吧。
M=600;N=420;P=200;Q=2282
from scipy.optimize import fsolve
def func(r):
return pow((1+r),M)-(1+Q/P)*pow(1+r,M-N)+Q/P
print(fsolve(func,0))
1：.得r为0。2： 违反常识。开始质疑。3(1: 质疑api正确性，手动带入的确为0。3(2: 质疑存在多个零点，但是API只给出一个，带入标答0.0049求得0.27586315562580666，标答错误。3(3): 质疑公式的正确性，手推一遍的确如此。4: 得出结论——原书错误并且保险一本万利。
好了玩笑到此为止，虽然没有找到问题，但是得出几个既定事实。1) r ≠ 0 r\neq0 r=0，因为 r r r作了分母。2)书上公式是正确的，但是答案错误。