gcd 求最大公因数和最小公倍数

辗转相除法

若 gcd(a,b) 为计算整数a,b的最大公因数的函数

设 p=a/b , q=a%b

因为 a=b*p+q

所以 gcd(b,q) 能同时整除 a , b

即 gcd(b,q) 能整除 gcd(a,b)

同理 因为 q=a-b*p 所以 gcd(a,b) 能整除 gcd(b,q)

所以 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

再对 gcd(b,a%b) 重复以上操作，因为函数中第二个参数不断减小，所以最后会得到 gcd(a,b)=gcd(c,0)

其中c和0的最大公约数是c，所以 gcd(c,0)=c

如此就计算出了a,b的最大公因数 gcd(a,b)

c++代码演示：

#include
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main(){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<gcd(a,b)<<endl;
    return 0;
}

时间复杂度 O(lg max(a,b))
其中gcd我常写为:

int gcd(int a,int b){return b>0?gcd(b,a%b):a;}

接下来求最小公倍数lcm
先用辗转相除法求gcd(a,b)，也就是a,b的最大公因数
有lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)

    lcm=a*b/gcd(a,b);