第二类曲线积分
文章目录
- 第二类曲线积分
- 一、向量场是什么？
- 二、向量场可视化
- 三、计算
-
- 1. 计算方式一
- 2. 计算方式二
第二类曲线积分
因为之前学习第二类曲线的时候，不是很理解；所以最近看了mit的多元微积分课程，做一些课程笔记。
一、向量场是什么？
示例：pandas 是基于NumPy 的一种工具，该工具是为了解决数据分析任务而创建的。
理解第二类曲线积分的前置知识点是：向量场。
可以用这样的函数表示向量场：
F ( x , y ) = M ( x , y ) i + N ( x , y ) j \mathbf{F}(x,y) = M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j} F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j
注意该方程里的i, j表示的是向量。
二、向量场可视化
可以方便理解向量场，可以可视化向量场。通过搜索工具可以知道matplotlib的quiver可以做这件事。
F ( x , y ) = − y i + x j \mathbf{F}(x,y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j} F(x,y)=−yi+xj
# Import required modules
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Meshgrid
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-5, 5, 10),
np.linspace(-5, 5, 10))
# Directional vectors
u = -y
v = x
# Plotting Vector Field with QUIVER
plt.quiver(x, y, u, v, color='g')
plt.title('Vector Field')
# Show plot with grid
plt.grid()
plt.show()
通过图片可以理解，向量场中每个位置存在一个确定的向量。
三、计算
有一个很经典的物理问题，给定一个确定的曲线C，计算在这个向量场内的做功问题。
W = ∫ C F ⃗ d r ⃗ = lim Δ r i → 0 Σ i F ⃗ Δ r i ⃗ = lim Δ r i → 0 Σ i F ⃗ Δ r ⃗ Δ t Δ t W = \int_C \vec{F} d\vec{r} = \lim_{\Delta r_i \rightarrow 0} \Sigma_i \vec{F} \Delta \vec{r_i} = \lim_{\Delta r_i \rightarrow 0} \Sigma_i \vec{F} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \Delta t W=∫CFdr=Δri→0limΣiFΔri=Δri→0limΣiFΔtΔrΔt
1. 计算方式一
向量场F
F ⃗ = − y i ⃗ + x j ⃗ \vec{F} = -y \vec{i} + x\vec{j} F=−yi+xj
曲线C
{ x = t y = t 2 0 < t < 1 \left\{ \begin{array}{c} x = t \\ y = t^2 \end{array} \right. 0
计算
∫ C F ⃗ d r ⃗ = ∫ F ⃗ d r ⃗ d t d t = ∫ < − t 2 , t > ∗ < 1 , 2 t > d t = ∫ t 2 d t \int_C \vec{F}d\vec{r} = \int\vec{F} \frac{d\vec{r}}{dt}dt = \int<-t^2, t> * <1, 2t>dt = \int t^2 dt ∫CFdr=∫Fdtdrdt=∫<−t2,t>∗<1,2t>dt=∫t2dt
2. 计算方式二
F ⃗ = < M , N > d r ⃗ = < d x , d y > ∫ C F ⃗ d r ⃗ = ∫ C M d x + N d y \vec{F} =
x = t ⇒ d x = d t y = t 2 ⇒ d y = 2 t d t ∫ C F ⃗ d r ⃗ = ∫ C − y d x + x d y = ∫ C − t 2 d t + t ∗ 2 t d t = ∫ t 2 d t x = t \Rightarrow dx = dt \\ y = t^2 \Rightarrow dy = 2tdt \\ \int_C\vec{F}d\vec{r} = \int_C-ydx + x dy = \int_C-t^2 dt + t * 2t dt = \int t^2dt x=t⇒dx=dty=t2⇒dy=2tdt∫CFdr=∫C−ydx+xdy=∫C−t2dt+t∗2tdt=∫t2dt