基本线性分组码与性能参数及差错控制

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基本线性分组码与性能参数

线性分组码(n,k)定义

线性分组码是由 (n, k) 形式表示。编码器将一个 k 比特信息分组（信息矢量）转变成一个更长的由给定符号集组成的 n 比特编码分组（编码矢量）。当这个符号集包含 2 个元素 (0 and 1) 时 , 称为二进制编码。

k-bit 信息形成 $2^k$ 不同的信息序列 , 称为 k 元组。 n-bit 可以形成 $2^n$ 个不同序列，称为 n 元组。

(n，k）分组码输出的长度为n的序列称为码字。所有这些码字的集合称为该线性分组码的码组。

因为n>k，故编码时需按某种规则加入r=n-k个监督（校验）码元。

对于分组码(n,k),定义

编码效率: k/n
编码冗余度:(n-k)/n

线性分组码的几个重要概念

码距（汉明距离）：两个码组中对应位置上具有不同二进制码元的位数
码重（汉明重量）：线性分组码中，将码字（组）中所含 1 的数目定义为码字(组)的重量

码字0011010和1101011之间的码距为4，码字0011010的码重是3
编码信道：研究信道编码和译码的信道模型
- 二元码、硬判决时，建模为 BSC （二元对称）信道
- 软判决时，建模为 AWGN 信道
- 软判决与硬判决译码（简单理解：译码器输入比特的选取）

信道编码性能参数

主要的性能参数有 差错概率、编码增益、检纠错能力、编码效率k/n。

编码增益：给定差错概率下，通过编码所能实现的比特信噪比$ _/_$的减少量。

检错能力 l: $d_{\text {min }} \geq l+1$
纠错能力 t: $d_{\min } \geq 2 t+1$
检错 l 纠错 t: $d_{\text {min }} \geq l+t+1$

设某二元信道编码码字集合A中任意两个码字之间的汉明距离分别为:6、7和8。请问该信道编码最多能纠正几位错误，检测出几位错误。

检错能力 l: $d_{\text {min }} \geq l+1$ ----> l = d - 1 = 5 最多检测5位错误

纠错能力 t: $d_{\min } \geq 2 t+1$ ----> t = (d - 1) / 2 = 2.5 取整，最多纠2位错

基本线性分组码

a.奇偶监督码

码字由 n 个码元组成， n - 1个信息码元，另一码元为奇（偶）监督码元 **(n, n-1)**奇偶监督码.

码率: (n-1)/ n

$$ \begin{array} CC = (C_{n-1}, C_{n-2}, \ldots, C_{1}, C_{0}) \Rightarrow C_{n-1} \oplus C_{n-2} \oplus \ldots \oplus C_{1} \oplus C_{0} \\ \end{array} $$

上式=0 (偶校验)or 1(奇校验)

可检测到奇数个错误图样, 如果错误个数为偶数则无法检测。

考虑(4，3）偶监督码

误码率：$P_{e}=C_{4}^{2} p^{2}(1-p)^{2}+C_{4}^{4} p=6 p^{2}(1-p)^{2}+p^{4}$

若 p=0.001 , 则 $P_{e}=6 \times 10^{-6}$

b.恒比码

每个码组中 1 和 0 的个数保持恒定，因而比值恒定。我国电传通信中 5 中取 3 码每个 5bit 码组中必须含有 3 个 1和2 个 0，总数共有$C_{5}^{3}=C_{5}^{2}=10$种来表示十进制数。

c.汉明码

能纠正单个随机错误的线性分组码

差错控制类型对信道编码的要求

1.ARQ（检错重发自动请求重发）

适用于非实时数据传输系统
要求信道编码具有检错功能

利用奇偶校验比特来检错重发。接收端不纠正错误，只是简单的要求发射机重发数据。此时，发射端与接收端间的对话需要双向链路反馈信道。

自动重发请求 (ARQ): 三种类型

停止——等待 ARQ （半双工）
具有回拉功能的连续 ARQ （全双工）
具有选择性重发功能的连续 ARQ （全双工）

ARQ的主要优点是，错误检测设备要比纠错设备简单得多，只需要少量的冗余。

ARQ只适用于发生错误时需要重发的情况。

2.FEC（前向纠错)

适用于实时通信系统中
要求信道编码具有纠错功能
比ARQ 优越的方面
1. 没有可用的反向信道或 ARQ 延迟过长。
2. 重发策略无法简单的实现。
3. 没有纠正的错误数目需要过多的重传。

3.HEC （混合纠错 ARQ+FEC）

即能检错又能纠错

首先收端进行检错，如错误在纠错范围内则纠正，否则请求重传。

信道编码主要涉及的数学知识：有限域运算、矩阵运算

有限域初步知识： Galois 域——迦罗华域
有限域：指有限个元素的集合，可按规则进行代数四则运算，且运算结果仍属于集合中的有限元素。
对于二元域，记为 GF(2)，其内码元满足模二运算。
二元扩展域 GF($2^n$)——由 GF(2) 元素的一切长度为n的序列组成的集合（二进制数组的集合）。
设 $ \mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in G F\left(2^{n}\right), \alpha \in G F(2)$ , 即$\alpha$取0或1。
加法: $\mathbf{x}+\mathbf{x}^{\prime}=\left(x_{n-1} \oplus x_{n-1}^{\prime}, x_{n-2} \oplus x_{n-2}^{\prime}, \ldots, x_{1} \oplus x_{1}^{\prime}, x_{0} \oplus x_{0}^{\prime}\right)$
乘法: $\alpha \cdot x=\left(\alpha x_{n-1}, \alpha x_{n-2}, \ldots, \alpha x_{1}, \alpha x_{0}\right) $

分析图的信道编码，该码的最小汉明距是3，该码能检测出2位错，能纠正1位错。该码适合纠随机错还是突发错?随机错

解：和上面类似，注意这里看的应该是Codeword。最小汉明距是3，检测出3 - 1 = 2位错，纠正(3 - 1) / 2 = 1位错，因此适合纠随机错。

参考文献：

Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.