第十三讲 常微分方程

这一讲有四个部分的内容
\begin{cases} 微分方程的概念(用概念解题)\\ \color{red}{一阶微分方程的求解}\\ \color{red}{二阶可降阶微分方程的求解}\\ \color{red}{高阶线性微分方程的求解} \end{cases}

微分方程的概念

微分方程:含有未知函数及其导数(或者微分)的方程成为微分方程,一般写成
或者

微分方程的阶:方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶

常微分方程:未知函数是一个一元函数的微分方程称为常微分方程

微分方程解出来的解是一个函数,将这个函数代入微分方程使等式恒成立,则称该函数为微分方程的解

通解:若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数,则称该解称为微分方程的通解

初始条件与特解:初始条件用于确定通解中的各个独立常数,将这些独立常数代入通解中得到的就是特解

一阶微分方程的求解

这里将一阶微分方程分成了下面四种类别,实际问题中需要按照相应的类别进行解决

  • 变量可分离型
    能写成形式的方程称为变量可分离型方程,其解法为:

    例如:
    (隐式解)
    (显式解)
    需要注意的是,当时用这种方法进行求解微分方程的时候就默认忽略了的情况,因此,可能会漏掉一些答案

例题
求的通解






所以这个解中,但这并不意味着不是这个微分方程的解
将代入原微分方程中可得
,故微分方程恒等
即也是这个微分方程的解
所以该微分方程的解为

需要注意的是只要通解中的独立常数个数等于微分方程的次数,那么这个通解就是合格的

  • 可化为变量可分离型
    这类题型的解题思路一般是换元法,而换元法也具有两个两种思路:
  1. 换元法,形如的方程,其解法为令,则,再将原方程代入可得

例题
求微分方程的通解

令,则





(隐式通解)

  1. 齐次微分方程,比如下面的这个微分方程


    将形如的方程叫做齐次型微分方程,其解法是令,则


例题
设L是一条平面曲线,其上任意一点到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点,试求曲线的方程
点的切线方程为
根据题意得:


设,则







再将点代入得,
所以该微分方程的隐式通解为

  • 一阶线性微分方程
    形如形式的微分方程称为一阶线性微分方程,其中为已知函数
    这类微分方程的解法的原理就是



    然后两边积分


    虽然这里的公式看起来很复杂,但实际上只是函数的原函数

例题
求微分方程的通解
这个微分方程既不是变量可分离型的也是一阶线性的,所以需要进一步变形


令,则由上面的公式可得



  • 伯努利方程
    将形如的微分方程称为伯努利方程,其中为已知的连续函数。
    (这里的n如果等于0,那么这个方程就是一阶线性微分方程;如果等于1,那么这个方程就可以使用变量可分离进行求解)
    对于这类微分方程的解法为:
    先变形为
    再令,则
    代入原式得,

    解上述关于的一阶线性微分方程即可

例题
求的通解

则对于函数的反函数而言



令则,

代入原式得





二阶可降阶微分方程求解

  1. 型(方程中不显含未知函数)
    这种类型的二阶微分方程的解法为
    令,则
    原式变为一阶微分方程
    设该一阶微分方程的解为,则原方程的通解为

例题
求的通解
令p(x) = y',则原式为







  1. 型(方程中不显含自变量)
    这种类型的微分方程的解法为:

    所以原式变为一阶微分方程:

    若上述一阶微分方程的解为,则由可得
    分离变量

    两边同时积分可得

    从而求解

例题
求微分方程的通解,其中
令,则原式







高阶线性微分方程的求解

  • 常见的概念:
  1. 形如的微分方程称为二阶变系数线性微分方程,其中叫做系数函数,叫做自由项,均为已知的连续函数
    当时,叫做齐次方程;否则称其为非齐次方程
  2. 形如的微分方程称为二阶常系数线性微分方程,其中为常数,叫做自由项
    当时,叫做齐次方程;否则称其为非齐次方程
  • 解的结构
  1. 若是的两个解,且不为常数,则称是该方程的两个线性无关的解,且是的通解
  2. 若是的通解,是的一个特解,则是的通解
  3. 若是的解,是的解,则是的解
  • 二阶常系数齐次线性微分方程的通解
    对于微分方程,其中为常数,试令,(因为只有指数函数的二阶微分常系数线性方程才能得0),代入得


    将上面的二次方程称为二阶常系数微分方程的特征
    考虑特征的根的三种情况:
  1. 不为常数,则微分方程的通解为
  2. ,这种情况下,微分方程的通解为
  3. ,令,这种情况下,微分方程的通解为

例题:求的通解
特征方程

故该微分方程的通解为

  • 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
    对于二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
  1. 如果,则设其特解为
    其中为n阶的一般方程(形如),而k的取值取决于该微分方程的特征根:

    最后再将形如的解代入原微分方程解出未知系数,即可得到最终的特解

例题,求微分方程的特解
根据上面的步骤,设特解
因为,所以
将代入原式得


该微分方程的一个特解为

  1. 如果,则设其特解为
    其中,均为一般多项式,而k的取值依然取决于特征方程的根

例题,求微分方程的一个特解
设特解
因为,故

将这个解代入原微分方程可得一特解
该微分方程的一个特解为

根据微分方程的概念解题*

  1. 已知微分方程的解,反解系数

例题
设是一阶非齐次线性微分方程的两个特解,若常数使是该方程的解,是该方程对应的齐次方程的解,求
将两个方程的解分别代入可得


两式相加得
两式相减得
而由题意得


  1. 不解微分方程,而利用方程中所包含的信息解题

例题
设是方程的一个解,若,且,则函数在点处有( )
A. 取得极大值
B. 取得极小值
C. 某个领域内单调增加
D. 某个领域内单调减少
解:讨论微分方程在点处的情况,


故函数在点处取得极大值

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