第十三讲 常微分方程

这一讲有四个部分的内容

微分方程的概念

微分方程：含有未知函数及其导数(或者微分)的方程成为微分方程，一般写成
或者

微分方程的阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶

常微分方程：未知函数是一个一元函数的微分方程称为常微分方程

微分方程解出来的解是一个函数，将这个函数代入微分方程使等式恒成立，则称该函数为微分方程的解

通解：若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则称该解称为微分方程的通解

初始条件与特解：初始条件用于确定通解中的各个独立常数，将这些独立常数代入通解中得到的就是特解

一阶微分方程的求解

这里将一阶微分方程分成了下面四种类别，实际问题中需要按照相应的类别进行解决

• 变量可分离型
  能写成形式的方程称为变量可分离型方程，其解法为：
  
  例如：
  (隐式解)
  (显式解)
  需要注意的是，当时用这种方法进行求解微分方程的时候就默认忽略了的情况，因此，可能会漏掉一些答案

例题
求的通解






所以这个解中，但这并不意味着不是这个微分方程的解
将代入原微分方程中可得
，故微分方程恒等
即也是这个微分方程的解
所以该微分方程的解为

需要注意的是只要通解中的独立常数个数等于微分方程的次数，那么这个通解就是合格的

• 可化为变量可分离型
  这类题型的解题思路一般是换元法，而换元法也具有两个两种思路：

1. 换元法，形如的方程，其解法为令，则，再将原方程代入可得

例题
求微分方程的通解

令，则





(隐式通解)

2. 齐次微分方程，比如下面的这个微分方程
   
   
   将形如的方程叫做齐次型微分方程，其解法是令，则
   
   
   

例题
设L是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点，试求曲线的方程
点的切线方程为
根据题意得:


设，则







再将点代入得，
所以该微分方程的隐式通解为

• 一阶线性微分方程
  形如形式的微分方程称为一阶线性微分方程，其中为已知函数
  这类微分方程的解法的原理就是
  
  
  
  然后两边积分
  
  
  虽然这里的公式看起来很复杂，但实际上只是函数的原函数

例题
求微分方程的通解
这个微分方程既不是变量可分离型的也是一阶线性的，所以需要进一步变形


令，则由上面的公式可得

• 伯努利方程
  将形如的微分方程称为伯努利方程，其中为已知的连续函数。
  (这里的n如果等于0，那么这个方程就是一阶线性微分方程；如果等于1，那么这个方程就可以使用变量可分离进行求解)
  对于这类微分方程的解法为：
  先变形为
  再令，则
  代入原式得，
  即
  解上述关于的一阶线性微分方程即可

例题
求的通解

则对于函数的反函数而言



令则，
即
代入原式得

二阶可降阶微分方程求解

1. 型(方程中不显含未知函数)
   这种类型的二阶微分方程的解法为
   令，则
   原式变为一阶微分方程
   设该一阶微分方程的解为，则原方程的通解为

例题
求的通解
令p(x) = y'，则原式为

2. 型(方程中不显含自变量)
   这种类型的微分方程的解法为:
   令
   所以原式变为一阶微分方程：
   
   若上述一阶微分方程的解为，则由可得
   分离变量
   
   两边同时积分可得
   
   从而求解

例题
求微分方程的通解，其中
令，则原式

高阶线性微分方程的求解

• 常见的概念：

1. 形如的微分方程称为二阶变系数线性微分方程，其中叫做系数函数，叫做自由项，均为已知的连续函数
   当时，叫做齐次方程；否则称其为非齐次方程
2. 形如的微分方程称为二阶常系数线性微分方程，其中为常数，叫做自由项
   当时，叫做齐次方程；否则称其为非齐次方程

• 解的结构

1. 若是的两个解，且不为常数，则称是该方程的两个线性无关的解，且是的通解
2. 若是的通解，是的一个特解，则是的通解
3. 若是的解，是的解，则是的解

• 二阶常系数齐次线性微分方程的通解
  对于微分方程，其中为常数，试令，(因为只有指数函数的二阶微分常系数线性方程才能得0)，代入得
  
  
  将上面的二次方程称为二阶常系数微分方程的特征
  考虑特征的根的三种情况：

1. 不为常数，则微分方程的通解为
2. ，这种情况下，微分方程的通解为
3. ，令，这种情况下，微分方程的通解为

例题：求的通解
特征方程

故该微分方程的通解为

• 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
  对于二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

1. 如果，则设其特解为
   其中为n阶的一般方程(形如)，而k的取值取决于该微分方程的特征根：
   
   最后再将形如的解代入原微分方程解出未知系数，即可得到最终的特解

例题，求微分方程的特解
根据上面的步骤，设特解
因为，所以
将代入原式得

故
该微分方程的一个特解为

2. 如果，则设其特解为
   其中，均为一般多项式，而k的取值依然取决于特征方程的根
   

例题，求微分方程的一个特解
设特解
因为，故
即
将这个解代入原微分方程可得一特解
该微分方程的一个特解为

根据微分方程的概念解题*

1. 已知微分方程的解，反解系数

例题
设是一阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，求
将两个方程的解分别代入可得


两式相加得
两式相减得
而由题意得


故

2. 不解微分方程，而利用方程中所包含的信息解题

例题
设是方程的一个解，若，且，则函数在点处有( )
A. 取得极大值
B. 取得极小值
C. 某个领域内单调增加
D. 某个领域内单调减少
解：讨论微分方程在点处的情况，


故函数在点处取得极大值