【学习笔记】CF1264D2 Beautiful Bracket Sequence (hard version)
考虑固定一种计算贡献的方式，从而构造组合意义。
问题接踵而至。如何计算 ( i , j ) (i,j) (i,j)在所有方案中产生贡献的次数？从内往外考虑，那么要求 [ l , i ] [l,i] [l,i]中的左括号和 [ j , r ] [j,r] [j,r]中的右括号数目相等，不难发现这个限制是充要的。又因为问的就是整个序列的权值，所以设 [ 1 , i ] [1,i] [1,i]中有 a a a个问号， [ j , n ] [j,n] [j,n]中有 b b b个问号，左右括号相差的数目为 k k k，那么方案数 ∑ i ≤ a ( a i ) ( b i − k ) = ∑ i ≤ a ( a a − i ) ( b i − k ) = ( a + b a − k ) \sum_{i\le a}\binom{a}{i}\binom{b}{i-k}=\sum_{i\le a}\binom{a}{a-i}\binom{b}{i-k}=\binom{a+b}{a-k} ∑i≤a(ia)(i−kb)=∑i≤a(a−ia)(i−kb)=(a−ka+b)，显然如果对组合数比较熟悉的话是不难推出这个式子的。注意， [ i , j ] [i,j] [i,j]这段序列长什么样子事实上并不影响答案。
怎么优化这个枚举过程呢？显然是固定左端点，唯一需要注意的细节是当左右两边的问号都被确定时，此时右端点的选取是唯一的，也就是说恰好对应一种方案，那么将等号改成不等号就有： ∑ i ≤ a ∑ j ≥ i − k ( b j ) ( a i ) \sum_{i\le a}\sum_{j\ge i-k}\binom{b}{j}\binom{a}{i} ∑i≤a∑j≥i−k(jb)(ia)，我们希望 j j j从 0 0 0开始枚举，因此不妨变一下形式： ∑ i ≤ a ∑ j ≥ 0 ( b i − k + j ) ( a a − i ) \sum_{i\le a}\sum_{j\ge 0}\binom{b}{i-k+j}\binom{a}{a-i} ∑i≤a∑j≥0(i−k+jb)(a−ia)，交换求和顺序就有： ∑ j ≥ 0 ∑ i ≤ a ( b i − k + j ) ( a a − i ) = ∑ j ≥ 0 ( a + b a − k + j ) \sum_{j\ge 0}\sum_{i\le a}\binom{b}{i-k+j}\binom{a}{a-i}=\sum_{j\ge 0}\binom{a+b}{a-k+j} ∑j≥0∑i≤a(i−k+jb)(a−ia)=∑j≥0(a−k+ja+b)，注意到 a + b a+b a+b是定值，于是就做完了。
复杂度 O ( n ) O(n) O(n)。
感觉组合数的运算还是比多项式要轻量级的。
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