LA_矩阵运算的性质@方阵取行列式@取伴随@取逆@转置

• 矩阵运算的性质@方阵取行列式@取伴随@取逆@转置

可逆矩阵@矩阵的逆

• 矩阵和实数相仿,具有加/减/乘三种运算
• 数的乘法的逆运算是除法,相对应矩阵乘法的逆运算用矩阵的逆来描述
  • 数a的倒数:$a^{-1}=\frac{1}{a}$,$a{a}^{-1}=1$
  • 可逆矩阵A的逆:$A^{-1}满足A{A}^{-1}=E$
• 若A可逆,则A的逆矩阵唯一
• A可逆$\iff |A|\ne 0$
• 设$A,B$是n阶矩阵且$AB=E,则BA=E$(A,B互为逆矩阵)

n阶矩阵A可逆的充要条件

• 存在n阶矩阵B,使得$AB=E或BA=E$
• $|A|\ne 0$,即A是非奇异的(由:Cramer’s Rule及其推论有):
  • 齐次方程组$Ax=0$只有唯一解(零解)
  • $\forall b$,非齐次线性方程组$Ax=b$总有唯一解(非零解)
• $秩r(A)=n$
• A的行(列)向量线性无关
• 矩阵A的特征值不全为0
  • 或者说:A的特征方程$|\lambda E-A|=0$的全部n个根:${\lambda }_i,(i=1,2,\cdots ,n)$,$\prod _{i=1}^n{\lambda }_i\ne 0$
• A可以表示成一些初等矩阵的乘积:$\prod _{i=1}{P}_{i}A=E$

$A{A}^{\ast }=|A|E$的证明

• 上述性质可以推导伴随矩阵的性质$A{A}^{\ast }=|A|E$

  • 设$A=(a_{ij})$,$B=A{A}^{\ast }=(b_{ij})$

  • A ∗ = ( c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c n 1 c n 2 ⋯ c n n ) = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 n A 21 A 22 ⋯ A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n n ) T = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) A^* =\begin{pmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n} \\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}^{\large{\rm{T}}} \\ =\begin{pmatrix} A_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1} \\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} A∗= ​c11​c21​⋮cn1​​c12​c22​⋮cn2​​⋯⋯⋱⋯​c1n​c2n​⋮cnn​​ ​= ​A11​A21​⋮An1​​A12​A22​⋮An2​​⋯⋯⋱⋯​A1n​A2n​⋮Ann​​ ​T= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​

  • $$b_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{c}_{kj}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=\{\begin{array}{ll}0& i\ne j\\ |A|& i=j\end{array}$$

  • 可见矩阵B是一个对角矩阵

    • B = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ) = ( ∣ A ∣ 0 ∣ A ∣ ⋱ 0 ∣ A ∣ ) = ∣ A ∣ E B=\begin{pmatrix} b_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n} \\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} |A|& & & \huge{0} \\ & |A|& & \\ & & \ddots & \\ \huge{0} & & & |A| \end{pmatrix} =|A|E B= ​b11​b21​⋮bn1​​b12​b22​⋮bn2​​⋯⋯⋱⋯​b1n​b2n​⋮bnn​​ ​= ​∣A∣0​∣A∣​⋱​0∣A∣​ ​=∣A∣E

  • $\therefore B=A{A}^{\ast }=|A|E$

• 类似的,可以证明$A^{\ast }A=|A|E$

可逆矩阵的性质

• 设$A$可逆

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$

• $(\lambda A{)}^{-1}={\lambda }^{-1}{A}^{-1}$

  • 容易验证:$(\lambda A)({\lambda }^{-1}{A}^{-1})=E$,所以$\lambda A$可逆,且$(\lambda A{)}^{-1}={\lambda }^{-1}{A}^{-1}$

• $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

  • 由矩阵乘法的转置性质:$(AB{)}^T=B^T{A}^T$,即$A^T{B}^T=(BA{)}^T$
  • 方法1:
    • 等号左边是$A^T$的逆,$A^T(A^T{)}^{-1}=E$
    • 欲证上式,等价于证等号右边也是$A^T$的逆:$A^T(A^{-1}{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=E$
    • 可见等号右边也是$A^T$的逆
    • 从而$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
  • 方法2(使用换元法描述):
    • 令$B=(A^T{)}^{-1}$
    • $C=(A^{-1}{)}^T$
    • $A^{T}B=A^T(A^T{)}^{-1}=E$
    • $A^{T}C=(A^T)(A^{-1}{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=E$
    • 因此B,C都是$A^T$的逆,所以$B=C=(A^T{)}^{-1}$

• $A,B$可逆,则$AB$可逆,且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

  • $\because (AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AE{A}^{-1}=A{A}^{-1}=E$

  • $\therefore (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

  • 更一般的:

    • $$(A_1{A}_2\cdots A_m{)}^{-1}=A_m^{-1}{A}_{m-1}^{-1}\cdots A_1^{-1}$$

伴随运算@伴随矩阵@逆矩阵的公式

1. $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$(数量阵)

   1. $|A{|}^{-1}A{A}^{\ast }=|A{|}^{-1}{A}^{\ast }A=E$
      • $|A^{-1}|A{A}^{\ast }=A|A^{-1}|A^{\ast }$
   2. $A^{-1}=|A{|}^{-1}{A}^{\ast }$
   3. $A^{\ast }=|A|A^{-1}$(A可逆(不是所有方阵的伴随矩阵都可以展开成右侧))
      • 对$A{A}^{\ast }=|A|E$两边左乘$A^{-1}$得到.
      • 主要用于推导其他关于伴随矩阵的结论)

2. $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

   • $A{A}^{-1}=E$,对两边取行列式
   • $|A{A}^{-1}|=|E|$,即$|A||A^{-1}|=1$
   • 从而$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

3. $(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$

   • $B=kA$
   • $C=k^{-1}{A}^{-1}$
   • $BC=(kA)(k^{-1}{A}^{-1})=k{k}^{-1}A{A}^{-1}=E$
   • $\therefore B^{-1}=C,(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$

4. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

   • 令$C=AB$,$D=B^{-1}{A}^{-1}$
   • $CD=AB{B}^{-1}{A}^{-1}=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AE{A}^{-1}=A{A}^{-1}=E$
   • $\therefore (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

5. $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

   • 对$A{A}^{\ast }=|A|E$两边取行列式,$|A||A^{\ast }|=|A{|}^n|E|=|A{|}^n$,所以:$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

6. $(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A,(|A|\ne 0)$

   • 因此,由$|A|\ne 0$可知:$|A^{\ast }|\ne 0$,因为$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}\ne 0$,即$A^{\ast }$可逆

   • 方法1:

     • 由于$kE$是可逆矩阵$(k\ne 0)$,所以$A{A}^{\ast }=|A|E$两边都是可逆矩阵($k=|A|$)

       • $A{A}^{\ast }=|A|E$的两边同时取逆,得到$(A{A}^{\ast }{)}^{-1}=(|A|E{)}^{-1}$,即$(A^{\ast }{)}^{-1}{A}^{-1}=|A{|}^{-1}{E}^{-1}=|A{|}^{-1}E$
       • 对$(A^{\ast }{)}^{-1}{A}^{-1}=|A{|}^{-1}E$两边同时右乘$A$,得:$(A^{\ast }{)}^{-1}=|A{|}^{-1}A$

     • 由$A$可逆,可知B=$A^{-1}$是可逆的,且$A^{-1}=A$

       • $B{B}^{\ast }=|B|E$,同时左乘$B^{-1}$,$B^{\ast }=|B|B^{-1}$即$(A^{-1}{)}^{\ast }=|A^{-1}|(A^{-1}{)}^{-1}$

       • 而前面讨论过$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$,从而$(A^{-1}{)}^{\ast }=|A{|}^{-1}A$

       • 可见$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A,(|A|\ne 0)$

   • 方法2:

     • 对$A^{\ast }=|A|A^{-1}$两边取逆:$(A^{\ast }{)}^{-1}=|A{|}^{-1}A$
       • 令$B=A^{-1}$,由于A可逆,B也可逆
       • $B^{\ast }=|B|B^{-1}=|A^{-1}|A=|A{|}^{-1}A$
       • 所以$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=|A{|}^{-1}A$

7. $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$

   • 使用换元法并结合基础性质展开来推导
   • 由于A可逆,$kA$也可逆
   • 令$B=kA$,则B可逆,$B{B}^{\ast }=|B|E,B^{\ast }=|B|B^{-1},(kA{)}^{\ast }=|kA|(kA{)}^{-1}=k^n|A|k^{-1}{A}^{-1}$
   • 所以$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}|A|A^{-1}=k^{n-1}{A}^{\ast }$

8. $(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$

   • 借助转置的性质推导
   • $A^{\ast }=(|A|A^{-1}),(A^{\ast }{)}^T=(|A|A^{-1}{)}^T=|A|(A^{-1}{)}^T$
   • $记B=A^T,B^{\ast }=|B|B^{-1},即(A^T{)}^{\ast }=|A^T|(A^T{)}^{-1}=|A|(A^{-1}{)}^T$
   • 所以$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }=|A|(A^T{)}^{-1}$

9. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n⩾2)$

   • 综合运用上面得到的结论可以推导出来

   • $记B=A^{\ast };B^{\ast }=|B|B^{-1};(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|(A^{\ast }{)}^{-1}=|A{|}^{n-1}(|A{|}^{-1}A)=|A{|}^{n-2}A$