从零开始的 Rust 语言 blas 库之预备篇（2）—— blas 矩阵格式详解

从零开始的 Rust 语言 blas 库之预备篇（2）—— blas 矩阵格式详解

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文章部分参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/104287878

fortran 的 blas 中的矩阵表示

fortran 语言对于现在的程序员来说，显得有些奇怪，不仅在语法上，更加体现在实际的运用方面。

现在而言，通常情况下，我们表达一个矩阵，都是使用二维数组的，例如下面的矩阵 $\mathbf{A}$

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$$

我们可以设置一个二维数组 $a[i][j]$，其中有

$$\begin{gathered} a[0][0]=1,a[0][1]=2 \\ a[1][0]=3,a[1][1]=4 \\ a[2][0]=5,a[2][1]=6 \end{gathered}$$

这是一个非常朴素的想法，而且没有任何谬误。

不过二维数组的概念在 fortran77 那个年代或许有点超前，又或者不太实用，所以 fortran 中选择将二维数组压缩为一维数组。在这个压缩的过程中，势必会面临“列优先”或者“行优先”的问题。

简单地说，对于一个矩阵或者二维数组，有两种等价的表达方式。继续以上述的矩阵 $\mathbf{A}$ 作为例子，使用一维数组 $b$ 表示，则其行优先表示为

$$\begin{gathered} b[0]=1,b[1]=2,b[2]=3,b[3]=4,b[4]=5,b[5]=6 \\ m=3 \\ n=2 \end{gathered}$$

其中矩阵可以表示为 $m\times n$ 的形式。

事实上，在现在的 c 语言等高级编程语言中，对于上面的二维数组 $a$ 而言，可以直接当作一维数组 $b$ 使用，因为大多数语言中的多维数组，都是使用行优先的表示方式进行存储的。

虽然但是，fortran blas 偏偏不喜欢这一套，因为他是采用列优先的方式存储的。也就是说，如果使用一维数组 $c$ 表示同一个矩阵 $\mathbf{A}$，结果为：

$$\begin{gathered} c[0]=1,c[1]=3,c[2]=5,c[3]=2,c[4]=4,c[5]=6 \\ m=3 \\ n=2 \end{gathered}$$

矩阵仍然是 $m\times n$，但是存储的形式为列优先。

理解到这一层后，对于 blas 的 fortran 实现中的矩阵形态就没有迷惑了。

一个简单结论

值得一提的是，我们可以发现，如果我们对矩阵转置得到 ${\mathbf{A}}^T$，则其原来的列优先存储形式的一维数组 $c$，就和转置后的行优先存储形式的一维数组 $b^T$ 相同。（十分显然的结论）

这个结论的应用比较常见，例如对于 level 2 的 gemv 系列函数，其作用为计算

$$y\leftarrow \alpha \ast op(\mathbf{A})\ast x+\beta \ast y$$

其中 $\mathbf{A}$ 在传入函数时，我们一定认为其为 $m\times n$ 的列优先矩阵。$op(\mathbf{A})$ 可为 $\mathbf{A},{\mathbf{A}}^T$ 两者中的一种（可以通过参数控制），在这里我们认为 $op(\mathbf{A})=\mathbf{A}$，即此时，我们正在计算

$$y\leftarrow \alpha \ast \mathbf{A}\ast x+\beta \ast y$$

虽然但是，如果好死不死，我们传入的矩阵 $\mathbf{A}$ 为行优先矩阵，那么我们可以通过调控参数，使

$$op(\mathbf{A})={\mathbf{A}}^T$$

则我们也可以得到正确的结果。（动动手啊动动脑，想想这是为什么）

fortran blas 中的 lda 参数

光是理解矩阵存储形式还是不足够理解 blas 函数中的功能，剩下一个关键点——lda 参数的含义仍然不明晰。下文仍然使用上面的列优先矩阵 $\mathbf{A}$ 作为例子，大小为 $m\times n=3\times 2$，对应的一维数组为 $c$。

计算的过程中，我们可能会使用矩阵的分块乘法的技巧来加速矩阵运算，因此我们需要能够在一个较大的矩阵 $\mathbf{A}$ 中，表示其中的一个小部分 ${\mathbf{A}}^{\prime }$。

此处，我们假设选取原来的矩阵的上部的 $m^{\prime }\times n=2\times 2$ 部分，即

$${\mathbf{A}}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

此时可以发现，矩阵 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ 的一维数组 $c^{\prime }$ 的内容与原来的数组 $c$ 不同，而且维度也不一样，所以我们自然想到需要创建一个新的数组，并对应的内容于 $c^{\prime }$ 中。

这个想法非常朴素且可行，只可惜这样子内存消耗太大，如果矩阵大一点，分块次数多一些，迟早内存吃光光！因此，我们换一种思路——直接共用同一个一维数组指针 $c$。

但是直接使用 $c$ 是不行的，这个时候就轮到 lda 出场力。lda，全称 leading dimension of array，就是用来解决子矩阵的问题。lda 的值大小，等于当前 X 优先的表示形式中，要使有效数据的第一个维度增加 1，所需要增加的大小。

回忆起原来的矩阵为

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$$

注意到 $c$ 采用列优先存储方式，如果将其直接当作二维数组，则其第一个维度即为列，第二个维度为行，因此 lda 的值为在 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ 中，要使列维度增加 1，在 $c$ 中所需要增加的大小。

显然，在列优先形式下，此时 lda 的大小为原矩阵 $\mathbf{A}$ 的行数；如果在行优先形式下，此时 lda 的大小则为原矩阵 $\mathbf{A}$ 的列数。

直观的理解下，已知 lda 为 3，则我们对矩阵 $\mathbf{A}$ 读取完左上的 1 和 3 之后，因为 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ 的大小为 $2\times 2$，所以我们需要读取下一列，因此我们根据 lda 的值，知道从这一列的开始元素 1 到下一列的开始元素之间，需要 3 个元素的地址偏移，之后就能得到下一列的开始元素为 2。

小朋友，明白了吗？

cblas 对 fortran blas 的封装

如果有好好理解上面的内容，对于 cblas 的封装，应该就会感觉很简单。

相对于 fortran 默认传入的矩阵的一维数组为列优先，在 cblas 中，允许用户指定传入的一维数组的存储形式。

事实上，cblas 只是使用上面的一个简单的结论一章中的内容，在 c 语言的层面，通过操控 $op(\mathbf{A})$，从而改变存储形式，然后得到正确的结果罢了，因此这里没什么好说的。

例如对于 cblas_sgemv 函数，

/*
 *
 * cblas_sgemv.c
 * This program is a C interface to sgemv.
 * Written by Keita Teranishi
 * 4/6/1998
 *
 */
#include "cblas.h"
#include "cblas_f77.h"
void cblas_sgemv(const CBLAS_LAYOUT layout,
                 const CBLAS_TRANSPOSE TransA, const int M, const int N,
                 const float alpha, const float  *A, const int lda,
                 const float  *X, const int incX, const float beta,
                 float  *Y, const int incY)
{
   char TA;
#ifdef F77_CHAR
   F77_CHAR F77_TA;
#else
   #define F77_TA &TA
#endif
#ifdef F77_INT
   F77_INT F77_M=M, F77_N=N, F77_lda=lda, F77_incX=incX, F77_incY=incY;
#else
   #define F77_M M
   #define F77_N N
   #define F77_lda lda
   #define F77_incX incX
   #define F77_incY incY
#endif

   extern int CBLAS_CallFromC;
   extern int RowMajorStrg;
   RowMajorStrg = 0;

   CBLAS_CallFromC = 1;
   if (layout == CblasColMajor)
   {
      if (TransA == CblasNoTrans) TA = 'N';
      else if (TransA == CblasTrans) TA = 'T';
      else if (TransA == CblasConjTrans) TA = 'C';
      else
      {
         cblas_xerbla(2, "cblas_sgemv","Illegal TransA setting, %d\n", TransA);
         CBLAS_CallFromC = 0;
         RowMajorStrg = 0;
      }
      #ifdef F77_CHAR
         F77_TA = C2F_CHAR(&TA);
      #endif
      F77_sgemv(F77_TA, &F77_M, &F77_N, &alpha, A, &F77_lda, X, &F77_incX,
                &beta, Y, &F77_incY);
   }
   else if (layout == CblasRowMajor)
   {
      RowMajorStrg = 1;
      if (TransA == CblasNoTrans) TA = 'T';
      else if (TransA == CblasTrans) TA = 'N';
      else if (TransA == CblasConjTrans) TA = 'N';
      else
      {
         cblas_xerbla(2, "cblas_sgemv", "Illegal TransA setting, %d\n", TransA);
         CBLAS_CallFromC = 0;
         RowMajorStrg = 0;
         return;
      }
      #ifdef F77_CHAR
         F77_TA = C2F_CHAR(&TA);
      #endif
      F77_sgemv(F77_TA, &F77_N, &F77_M, &alpha, A, &F77_lda, X,
                &F77_incX, &beta, Y, &F77_incY);
   }
   else cblas_xerbla(1, "cblas_sgemv", "Illegal layout setting, %d\n", layout);
   CBLAS_CallFromC = 0;
   RowMajorStrg = 0;
   return;
}

可以简单理解一下，事实上 cblas 这一层允许指定外部数组的排布方式 layout（行优先或列优先），并允许用户指定外部数组是否需要转置 TransA，并根据这些信息，来最终选用在列优先的 fortran 中，是否需要一次矩阵转置。

为什么只需要零次或者一次矩阵转置呢？因为任意两次转置都会回到原来的矩阵，这也是一个简单的结论一节中的 trick。