scau 2012新生赛 G只有神知道的世界

数论水题，但是因为自己数论比较弱，而且这题也想了半个小时，所以还放上来

题意：

对于任意一个非负数N，我们定义D(N) 为N上奇数数字的和加上两倍偶数数字的和。举个例子：D(567) = 5 + 6 * 2 + 7 = 24, D(314159) = 3 + 1 + 2 * 4 + 1 + 5 + 9 = 27. 令F(N)表示D(N)的最后一位数字。例如：F(567) = 4, F(314159) = 7。 你的问题是，给你两个数A, B，你要计算出∑F(i), i ∈ [A, B]

输入格式

第一行输入一个整数T，表述有T组case。(T <=1000) 接下来T行，每行输入两个数字A, B （0 <= A <= B <= 400,000,000） 

 

输出格式

每一行输出一个整数，表示题目所要求的和。 

 

输入样例

3 1 8 28 138 314159 314159 

 

输出样例

36 495 7


此题很明显的数论（数学题），数据很大，显然不可能用循环否则必定超时，只能发掘它的巧妙之处直接计算，这是数学题的特点，用对的算法，时间复杂度往往是O（1），不对的话，一般是TLE，还有可能WA
这题首先想到了分治法统计在AB区间内所有数字出现过的次数，然后求和再求模，简单证明一下这个方法发现是错的，再用了几组数据发现也是错的，所以抛弃了这个方法。再想，会不会是有什么规律，但是一眼也看不出什么特别的规律，当时只知道一个规律，从0到9的Fn分别是0,1,4,3,8,5,2,7,6,9，也就是刚好0到9这10个数字又出现了一遍，和为45。然后再纸上老老实实列出了0到30的所有Fn，列到29的时候顿悟了。是存在一个周期，周期是10，在周期以外的数字单独处理，因为周期是10，所有周期以外的数字不会超过10个，最多9个，而周期以内的数字一个数学公式解决，时间复杂度可以说是几乎O(1)
那么这个周期是什么？
那就是从任意一个数字m开始，这个数字满足一个条件个位数是0，一直到m+9（那么显然m+9的个位数就是9），一共10个数字，这个10个数字的Fn之和为45
这个东西的证明写起来有些麻烦就不写了，稍微思考一下谁都懂的
所以给出区间[H,L],要保证H的个位数为0，L的个位数为9，如果不满足，则单独求H的Fn，并且让H递增知道H个位数等于0为止，同理若L个位数不为9，则单独求L的Fn，并让L递减直到个位数等于9为止
预处理后[H,L]就是一个包含1个或多个周期的区间，求出区间长度并求出周期个数，每个周期的Fn和为45，
则len=(L-H+1)，c=len/10; s=c*45;
ans=s+之前单独计算的H和L部分的Fn值

然后注意处理一个特殊情况就是区间[H,L]的长度都不满足一个周期，也就是H递增和L递减之后区间已经全部单独计算完了，这时候就不用算什么周期了

嗯，总的来说还是一道水题，现在还没有加强数论（数学）题的训练，以后要加强训练啊

#include <cstdio>

#include <cstring>

char s[50];

int H,L,ans;



int get_dn(int n)

{

    int sum=0,tmp;

    while(n>0)

    {

        tmp=n%10;

        if(tmp&1)  //奇数

            sum+=tmp;

        else

            sum+=tmp*2;

        n/=10;

    }

    return sum;

}

int get_fn(int n)

{

    return get_dn(n)%10;

}

int main()

{

    int T;

    scanf("%d",&T);

     while(T--)

     {

         scanf("%d%d",&H,&L);

         ans=0;

         while(H<=L)

         {

             if((H%10)==0)  break; //个位是0

             ans+=get_fn(H);

             H++;

         }

         while(H<=L)

         {

             if((L%10)==9)  break;

             ans+=get_fn(L);

             L--;

         }

         if(H>L)  //已经算完了

            printf("%d\n",ans);

         else

         {

             ans+=(L-H+1)/10*45;

             printf("%d\n",ans);

         }

     }

     return 0;

}