数据结构之堆的详解
数据结构之堆
- 一.堆的概念
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- 1.1 堆的基本概念
- 1.2 堆的存储方式
- 二.堆的操作和实现
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- 基本框架
- 建堆
- 插入
- 删除
- 三.堆的应用
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- 优先队列
- top-k问题：最小的K个数或者最大k个数
- 堆排序
一.堆的概念
1.1 堆的基本概念
-
堆是一种特殊的完全二叉树
-
堆分为小根堆和大根堆,大根堆的根节点值最大,小根堆的根节点值最小
最小堆
大根堆
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
1.2 堆的存储方式
从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储.
二.堆的操作和实现
基本框架
我们采用数组的方式实现一课完全二叉树,下述就是基本描述代码.
public class TestHeap {
public int[] elem;
public int usedSize;
public TestHeap() {
this.elem = new int[10];
}
public void initElem(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
elem[i] = array[i];
usedSize++;
}
}
}
建堆
当然,在我们构建了完全插树之后,我们要进行一系列的操作,接下来的第一个操作就是建堆操作.
我这里给出一个建堆操作的过程,我们以建立最大堆为例子.
以下方法的思路如下:
大家可以参考一下.
shiftDown 方法的思路如下:
- 首先找到当前节点的左子节点,作为当前比较的子节点。
- 如果有右子节点,并且右子节点的值大于左子节点,则将右子节点作为比较的子节点。
- 如果比较的子节点的值大于父节点的值,则交换父节点和子节点的值,并继续比较交换后的子节点。
- 重复步骤 2-3,直到父节点的值大于子节点的值,则结束下沉。
createHeap 方法的思路:
- 从最后一个非叶子节点开始,逐层下沉。
- 对每个非叶子节点调用 shiftDown 方法进行下沉操作。
- 重复步骤 1-2 直到根节点,则整个数组形成一个大顶堆。
public void createHeap() {
for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
shiftDown(parent,usedSize);
}
}
/**
* 父亲下标
* 每
* 棵树的结束下标
* @param parent
* @param len
*/
private void shiftDown(int parent,int len) {
int child = 2*parent + 1;
//最起码 要有左孩子
while (child < 
) {
//一定是有右孩子的情况下
if(child+1 < len && elem[child] < elem[child+1]) {
child++;
}
//child下标 一定是左右孩子 最大值的下标
if(elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
parent = child;
child = 2*parent+1;
}else {
break;
}
}
}
下面是时间复杂度的分析过程.
插入
数据的插入
向上调整的具体过程
下面的代码思路如下:
shiftUp 方法的思路如下:
- 首先找到当前新增元素的父节点。
- 如果当前元素的值大于父节点的值,则交换两者的值。
- 交换后,当前元素的父节点变为原先的祖父节点。
- 重复步骤 2-3,直到当前元素的值不大于父节点的值,上浮结束。
offer 方法的思路:
- 首先判断堆是否已满,如果满了则扩容。
- 将新增元素添加到数组尾部。
- 调用 shiftUp 方法,对新增元素进行上浮操作。
- 重复上浮,直到上浮结束,则新增元素添加完成。
该实现的时间复杂度是 O(logn),空间复杂度是 O(n)。
//向上调整建堆的时间复杂度：N*logN
public void offer(int val) {
if(isFull()) {
//扩容
elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
}
elem[usedSize++] = val;//11
//向上调整
shiftUp(usedSize-1);//10
}
private void shiftUp(int child) {
int parent = (child-1)/2;
while (child > 0) {
if(elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
child = parent;
parent = (child-1)/2;
}else {
break;
}
}
}
具体的向上调整时间复杂度分析
删除
删除过程如下:
具体思路如下:
pop 方法的思路:
- 首先判断堆是否为空,如果为空则返回。
- 交换根节点和最后一个元素。
- 减小 usedSize,表示元素数量减一。
- 调用 shiftDown 方法,对根节点进行下沉操作。
- 重复下沉,直到下沉结束,则弹出根节点元素完成。
- 该实现的时间复杂度是 O(logn),空间复杂度是 O(1)。
public void pop() {
if(isEmpty()) {
return;
}
swap(elem,0,usedSize-1);
usedSize--;
shiftDown(0,usedSize);
}
private void shiftDown(int parent,int len) {
int child = 2*parent + 1;
//最起码 要有左孩子
while (child < len) {
//一定是有右孩子的情况下
if(child+1 < len && elem[child] < elem[child+1]) {
child++;
}
//child下标 一定是左右孩子 最大值的下标
if(elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
parent = child;
child = 2*parent+1;
}else {
break;
}
}
}
三.堆的应用
优先队列
再开始堆的拓展之前,我们先来看一个概念,就是java里面优先队列api的概念
概念
队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列
数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)
PriorityQueue的特性
Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，这里主要是介绍的是PriorityQueue.
PriorityQueue的构造方法解释
第一种
构造方法没有比较器,直接传入参数.
第二种
指定初始化容量
第三种
这一种就是指定比较器,也是我们实现最大堆的关键因素.
看了上面的构造方法,我们,我们发现这个优先队列是可以指定比较器的,这样我们就可以实现堆的大小,可以定义大根堆,还可以定义小根堆.
具体先来看看,为什么一开始,我们说优先队列构建的是小根堆.
看代码构建.
接下来我会一一解释这些方法,你尽量代入我们上面实现的思想,你就能一下子明白了.
grow方法的解释
siftUpComparable和siftUpUsingComparator
整个offer的逻辑:
- 检查要插入的元素e是否为null,如果是则抛出NullPointerException
- 修改modCount,这个字段主要用于并发修改检测
- 计算优先队列当前大小i,如果超过容量则调用grow方法扩容
- size增加1,表示插入1个新元素
- 如果优先队列是空的(i==0),直接将新元素插入根节点
- 否则调用siftUp方法,将新元素插入尾部,然后执行向上筛选操作,使新元素上浮到正确位置
- 返回true表示插入成功
看了上面的例子之后,我们发现在我们没有指定具体的比较器或者说实现compareto接口的时候,他调用自己的比较器,进行比较,所以默认是小根堆,这里我们可以利用比较器的知识,
我用下面的例子来说明一下,怎么构建大根堆,代码如下:
class Student implements Comparable<Student>{
public int age;
public String name;
public Student(String name,int age) {
this.name = name;
this.age = age;
}
@Override
public boolean equals(Object o) {
if (this == o) return true;
if (o == null || getClass() != o.getClass()) return false;
Student student = (Student) o;
return age == student.age && Objects.equals(name, student.name);
}
@Override
public int hashCode() {
return Objects.hash(age, name);
}
@Override
public int compareTo(Student o) {
return this.age - o.age;
//return o.age - this.age;//大根堆了
}
}
public class Test {
public static void main(String[] args) {
Queue<Student> priorityQueue2 = new PriorityQueue<>();
priorityQueue2.offer(new Student("zhangsan",27));
priorityQueue2.offer(new Student("lisi",15));
System.out.println(2111);
}
}
当然我们还有另外一种方式,就是传入比较器
class Student{
public int age;
public String name;
public Student(String name,int age) {
this.name = name;
this.age = age;
}
@Override
public boolean equals(Object o) {
if (this == o) return true;
if (o == null || getClass() != o.getClass()) return false;
Student student = (Student) o;
return age == student.age && Objects.equals(name, student.name);
}
@Override
public int hashCode() {
return Objects.hash(age, name);
}
class AgeComparator implements Comparator<Student> {
@Override
public int compare(Student o1, Student o2) {
return o2.age-o1.age;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
AgeComparator ageComparator = new AgeComparator();
Queue<Student> priorityQueue2 = new PriorityQueue<>(ageComparator);
priorityQueue2.offer(new Student("zhangsan",27));
priorityQueue2.offer(new Student("lisi",15));
具体图示如下:
使用的注意事项
1.使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：
2. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出
ClassCastException异常
3. 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
4. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
5. 插入和删除元素的时间复杂度为
6. PriorityQueue底层使用了堆数据结构
7. PriorityQueue默认情况下是小堆—即每次获取到的元素都是最小的元素
top-k问题：最小的K个数或者最大k个数
我这里以最大的k个元素为例子
第一种思路:
通过维持一个大小为N的最小堆,并从中弹出K个元素,从而找到数组中最大的K个元素。
代码如下:
public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
int[] ret = new int[k];
if(arr == null || k == 0) {
return ret;
}
//O(N*logN)
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>(arr.length);
for (int x: arr) {
minHeap.offer(x);
}
//K * LOGN
for (int i = 0; i < k; i++) {
ret[i] = minHeap.poll();
}
return ret;
}
第二种思路:
- 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素，则建小堆 ,前k个最小的元素，则建大堆
- 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素\
具体过程
代码如下:
/**
* 前K个最大的元素
* N*logK
*/
public static int[] maxK(int[] arr, int k) {
int[] ret = new int[k];
if(arr == null || k == 0) {
return ret;
}
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>(k);
//1、遍历数组的前K个 放到堆当中 K * logK
for (int i = 0; i < k; i++) {
minHeap.offer(arr[i]);
}
//2、遍历剩下的K-1个，每次和堆顶元素进行比较
// 堆顶元素 小的时候，就出堆。 (N-K) * Logk
for (int i = k; i < arr.length; i++) {
int val = minHeap.peek();
if(val < arr[i]) {
minHeap.poll();
minHeap.offer(arr[i]);
}
}
for (int i = 0; i < k; i++) {
ret[i] = minHeap.poll();
}
return ret;
}
堆排序
具体步骤
分为两步:
- 建堆
升序：建大堆
降序：建小堆 - 利用堆删除思想来进行排序
private void swap(int[] array,int i,int j) {
int tmp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = tmp;
}
/**
* 时间复杂度：n*logn
* 空间复杂度：O(1)
*/
public void heapSort() {
int end = usedSize-1;//9
while (end > 0) {
swap(elem,0,end);
shiftDown(0,end);
end--;
}
}
- 首先调用shiftDown方法构建一个最大堆或最小堆。这个步骤时间复杂度为O(n)。
- 初始化end为最后一个元素的索引。
- 然后从end到0进行循环,在每次循环中:
- 交换堆顶元素(索引0)和end位置的元素
- 调用shiftDown方法对索引0的位置进行堆化(向下调整),使得索引0的位置上有最大值或最小值
- end减1,用于下一轮循环
- 循环结束后,排序完成。