每日算法总结——KMP算法详解（包含Java实现）

KMP算法解决的问题：字符串str1和str2，str1 是否包含str2，如果包含返回str2在str1中开始的位置。如何做到时间复杂度$O(N)$完成？（经典字符串匹配问题）

暴力解法：遍历str1中的每个字符，判断以该字符为首字符时，能否与str2匹配，时间复杂度为$O(N\ast M)$

不难发现经典解法的实质就是，如果i位置为首的字符串不匹配，就往回跳到i+1从头开始判断，仔细看整个过程可以知道，每次回跳，都会重复判断很多字符，那是否可以将这些信息收集利用起来，使得每次不用回跳这么多？KMP算法就是这样的，它甚至不用回跳。

讲解KMP之前，先来了解几个概念：

• 最大相同前、后缀长度：对于一个字符串str的第i位置的字符str[i]，其最大相同前后缀长度指的是在这个字符之前的子串（即str[0~i-1]）所具有的最长相同前后缀的长度，以abbabbk为例：

  • 对于k这个字符，其对应的子串为abbabb。
    1. 当取长度为1时，其前缀为a，后缀为b，不相同（不匹配❌）；
    2. 当取长度为2时，其前缀为ab，后缀为bb，不相同（不匹配❌）；
    3. 当取长度为3时，其前缀为abb，后缀为abb，相同（匹配成功✔）；
    4. 当取长度为4时，其前缀为abba，后缀为babb，不相同（不匹配❌）；
    5. 当取长度为5时，其前缀为abbab，后缀为bbabb，不相同（不匹配❌）；
    6. 不能取长度为6，因为6就是这个子串的长度，一定会匹配，判断它没意义。
  • 这样我们就得出最大前后缀匹配长度为3

• next数组：就是由最大相同前后缀长度（还挺拗口）构成的数组，该数组长度等于字符串长度，字符串中每个字符的最大相同前后缀长度都记录在该数组中。

  • 对于0位置处的字符，由于其前面没有子串，所以人为规定其最大相同前后缀长度为-1
  • 对于1位置处的字符，其前面只有一个字符，由于其前后缀一定相同，所以我们将其设为0

  举个栗子：

  字符串：[ a a b a a b s a a b a a b s t]
  next： [-1 0 1 0 1 2 3 ...]
  

KMP算法详解：

我们有了next数组，就可以根据next数组的信息，来决定匹配开始的位置，具体过程如下：

• 我们要在str1中查找str2，就计算出str2的next数组。

• 假如现在从str1[i]位置开始匹配，匹配到str1[X]位置发现不相等，即str1[X]≠str2[Y]，由str2的next数组我们可知Y位置之前字符串的最大前后缀匹配长度，也就是下图中的橙圈，既然前后缀相同，我们就可以直接省略str2前缀的匹配（即从位置j开始的匹配），直接从可能不相等的位置开始验证（即判断str1[X]和str2[X-j]是否相同）。
  

• 如何认定以[i, j]范围上任意一个字符为首的字符串一定无法与str2匹配呢？

  • 在从i位置往下匹配的过程中，当我们来到X，发现str1[X]≠str2[Y]，这时我们才停止匹配，所以在str1[i, X-1]和str2[0, Y-1]范围上的字符串一定相等。

  • 假设在str1[i, j]范围上存在一个字符str1[k]，使得以该字符开头，可以得到一个与str2相匹配的子串。则易知str1[k, X-1]范围上子串一定与str2等量的部分相同（即紫色框框的部分）
    

  • 不难发现现在对于str2[Y]来说，已经出现了一个更长的最大相同前后缀，就是两个紫色的部分（因为之前我们已经推出了str1[i, X-1]=str2[0, Y-1]的结论），这是与next的结论相悖的，所以不成立。

• 如何求next数组？

  • next[i]代表什么？

    • 0~i-1字符串的最大相同前后缀长度
    • 即下图中的下标k：
      

  • 首先，之前已经说过：next[0] = -1, next[1] = 0。

  • 对于next[i]，我们可以利用next[i - 1]的信息计算，next[i - 1]是字符str2[i - 1]之前子串的最大相同前后缀长度，也就是下图中的j，橙圈代表前/后缀：
    

  • 首先我们要判定j位置的字符是否等于i-1位置的字符

    • 如果它们相等的话，显然next[i]=next[i-1] + 1 = j + 1（上图紫圈）

    • 如果他们不等的话，则需要让j往前跳：j = next[j]，因为两个橙圈的部分是相同的，都是str2[i-1]的最大相同前后缀，但同时也是str2[j]之前的字符串，所以next[j]是什么呢？，没错，就是下图中的k，绿色圈 标出了str2[j]之前的字符串的最大相同前后缀。
      

      所以有j = next[j] = k，然后判断j位置的字符（即str2[k]）是否等于i-1位置的字符，重复上述过程……

    • 当j到达0位置时，说明并没有公共前缀，所以next[i] = 0

JavaCode:

public class Kmp {

    /**
     * @param s 在哪个字符串中匹配
     * @param m 要匹配的字符串
     * @return 首个匹配字符串的首字符下标。如果没有匹配，则返回-1
     */
    public static int getIndexOf(String s, String m) {
        // 要求 N >= M, N = s.length, M = m.length
        if (s == null || m == null || m.length() < 1 || s.length() < m.length()) {
            return -1;
        }
        char[] str1 = s.toCharArray();
        char[] str2 = m.toCharArray();
        int i1 = 0, i2 = 0;
        // O(M)
        int[] next = getNext(str2);
        // O(N)
        while (i1 < str1.length && i2 < str2.length) {
            if (str1[i1] == str2[i2]) {
                i1++;
                i2++;
            } else if (i2 > 0) {
                // 不匹配，i2往前跳
                i2 = next[i2];
            } else {
                // str2中比对的位置已经无法往前跳了
                i1++;
            }
        }
        // i2越界，说明匹配成功；i1越界，说明匹配失败；（同时越界也代表匹配成功）
        return i2 == str2.length ? i1 - i2 : -1;
    }

    /**
     * 获取ms的next数组
     */
    public static int[] getNext(char[] ms) {
        if (ms.length == 1) {
            return new int[]{-1};
        }
        int[] next = new int[ms.length];
        next[0] = -1;
        next[1] = 0;
        // i: next数组的位置
        int i = 2;
        // cn: 要和next[i-1]比较的位置
        int cn = 0;
        while (i < next.length) {
            if (ms[i - 1] == ms[cn]) {
                next[i++] = ++cn;
            } else if (cn > 0) {
                // 当前跳到cn位置的字符，和i-1位置的字符配不上，则cn继续向前
                cn = next[cn];
            } else {
                next[i++] = 0;
            }
        }
        return next;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(getIndexOf("abbsabb", "sabb"));	// 3
    }
}

复杂度分析：

• 假设str1和str2的长度分别是N和M
• getNext：
  • 首先对于while循环中的内容，存在两个量i和i - cn
    • 第一个条件分支中，i增加，i - cn不变
    • 第二个条件分支中，i不变，i - cn加一
    • 第三个条件分支中，i和i - cn都增加
  • 这两个量在整个while循环中，要么整体增加，要么只增加一个，而两个量的范围都是[0, M]，所以整体复杂度为$O(2M)=O(M)$
• getIndexOf中的while循环：
  • 同样存在两个量i1和i1 - i2
    • 第一个条件分支中，i1增加，i1 - i2不变
    • 第二个条件分支中，i1不变，i1 - i2增加
    • 第三个条件分支中，i1和i1 - i2都增加
  • 可以发现，这两个量在整个while循环中，要么整体增加，要么只增加一个，而两个量的范围都是[0, N]，所以整体复杂度为$O(2N)=O(N)$
• 所以整个算法的复杂度为$O(M+N)=O(N)$

实战

• LeetCode原题：28. 找出字符串中第一个匹配项的下标 - 力扣（LeetCode）

• 难度：Medium

有一说一，左神讲KMP算法讲的是真的好，不过可能我明天就忘了_(:3」∠)_，还是需要不断巩固啊