粒子群算法（Particle Swarm Optimization（PSO）附简单案例及详细matlab源码）

作者：非妃是公主
专栏：《智能优化算法》
博客地址：https://blog.csdn.net/myf_666
个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

专栏推荐

专栏名称	专栏地址
软件工程	专栏——软件工程
计算机图形学	专栏——计算机图形学
操作系统	专栏——操作系统
软件测试	专栏——软件测试
机器学习	专栏——机器学习
数据库	专栏——数据库
算法	专栏——算法

序

粒子群算法也是一种智能优化算法，该算法作为一种群体智能算法，主要借鉴了鸟群的思想（那为什么不叫鸟群算法，非要叫粒子群算法呢？我不得而知，感兴趣的朋友可以在评论区告诉我，我会标明出处后进行补充）。

---

一、概论

粒子群优化算法对鸟群捕食行为进行研究：一群鸟在区域中随机搜索食物，所有鸟知道自己距离食物的距离。

在粒子群算法中，每一个潜在解对应一只小鸟，可能是不考虑这只小鸟的重量和大小等物理特性，就抽象它为一个点，所以叫做粒子。

粒子群算法首先在给定的空间中随机初始化粒子群，待优化问题的变量决定了解空间的维数。每个粒子有了初始位置和速度后，通过迭代，我们就可以确定它的下一次的位置。

在每一次迭代中，每个粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己在解空间中的空间位置和飞行速度：一个极值就是单个粒子本身在迭代过程中找到的最优解粒子，这个粒子叫做个体极值。另一个极值是种群所有粒子在迭代过程中找到的最优解粒子，叫做全局极值。这个方法叫做全局粒子群算法，也是粒子群算法的 v1 版本，但是由于它考虑了全局种群，因此非常容易陷入到局部最优。

对应的改进方法是，只用其中一部分作为邻居粒子，这些邻居粒子中的极值就是局部极值，用它来代替上面的全局极值，这种方法就叫做局部粒子群算法，也是粒子群算法的 v2 版本。

---

二、粒子群算法原理

1. 算法原理

在一个D维的目标搜索空间中，N个粒子组成一个种群，其中第i个粒子表示为一个D维的向量：

$$X_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{iD}),i=1,2,...,N$$

第i个粒子的“飞行”速度也是一个D维的向量，记为：

$$V_i=(v_{i1},v_{i2},...,v_{iD}),i=1,2,...N$$

迄今为止，第i个粒子的个体最优位置：

$$p_{best}=(p_{i1},p_{i2},...,p_{iD}),i=1,2,...N$$

迄今为止，整个粒子群的最优位置：

$$g_{best}=(g_1,g_2,...,g_D)$$

对于每一次迭代，粒子根据如下公式进行更新：

$$v_{ij}(t+1)=v_{ij}(t)+c_1{r}_1(t)[p_{ij}(t)-x_{ij}(t)]+c_2{r}_2(t)[g_{ij}(t)-x_{ij}(t)]$$

$$x_{ij}(t+1)=x_{ij}(t)+v_{ij}(t+1)$$

其中，$c_1$和$c_2$为学习因子，就是2个常数，自己设定；

$r_1,r_2$为$[0,1]$范围内的均匀随机数。

$i=1,2,...,NP;$表示种群数量，$j=1,2,...,D$表示种群维度。

---

2. 机理分析

观察速度更新的公式，主要分为三个部分，进行机理分析，如下：

第一部分：惯性、动量部分。保持原有的运动趋势。

第二部分：认知部分。根据以往的经验，忘自己的个体最优值附近进行一定的偏移。

第三部分：社会部分。反映了粒子间的合作与知识共享，向全局最优值附近有一定的偏向。

---

三、算法流程

1. 算法伪代码

1. 初始化种群。包括：NP，$x_i$和速度$v_i$。
2. 计算每个粒子适应度fit[i]
3. 对每个粒子，用它的适应度值fit[i]和个体极值$p_{best}(i)$比较，如果$fit[i]<p_{best}$，那么就更新$p_{best}$。
4. 将fit[i]和全局极值$g_{best}$比较。如果$fit[i]<g_{best}$，则更新$g_{best}$。
5. 迭代更新粒子的速度$v_i$得到$v_{i+1}$。
6. 迭代更新$x_i$得到$x_{i+1}$
7. 对$x_{i+1}$进行边界处理。
8. 判断算法是否满足终止条件。如果满足，结束算法。不满足，返回步骤2.

---

2. 算法流程图

Created with Raphaël 2.3.0 开始 初始化种群 计算种群适应度 更新/维护个体最优值 更新/维护全局最优值 更新速度 更新位置 维护粒子使其满足边界条件 是否满足结束条件？ 结束 yes no

---

四、参数设置

1. 粒子种群规模$N$

一般设置粒子数为20~50。

• 对于大部分问题10个粒子即可取得很好的结果；

• 对于复杂的问题，粒子数量可以取到100或200。

另外，粒子数目越大，搜索空间越大，全局搜索能力更强，运行时间也越长。

---

2. 惯性权重$\omega$

Ⅰ. 固定权重

在进化过程中保持不变，一般取值为$[0.8,1.2]$.

---

Ⅱ. 时变权重

粒子在不同阶段拥有不同的搜索和开发能力。

$$\omega ={\omega }_{max}-\frac{({\omega }_{max}-{\omega }_{min})\cdot t}{T_{max}}$$

其中，$T_{max}$表示最大进化代数；${\omega }_{min}$表示最小惯性权重；${\omega }_{max}$表示最大惯性权重；$t$表示当前迭代次数。在大多数应用中${\omega }_{max}=0.9$，${\omega }_{min}=0.4$

---

3. 加速常数$c_1$和$c_2$

一般设置$c_1=c_2=1.5$.

---

4. 粒子最大速度$v_{max}$

设定$v_{max}$和调整惯性权重是等效的，所以$v_{max}$一般用于对种群初始化进行设定，即将$v_{max}$设定为每维变量的变化范围，二不再对最大速度进行细致的选择及调节。

---

5. 停止准则

最大迭代次数、计算精度或最优解的最大停滞部署$△t$.

---

6. 邻域结构的设定

• 全局最优解收敛块，但回陷入局部最优。

• 局部版本粒子群算法，收敛慢，但不容易陷入局部最优。

• 通常的做法是，全局粒子群算法寻找到最优解的大致范围，然后采用局部粒子群算法在最优点附近进行精细搜索。

---

7. 边界条件处理

当朝贡国最大位置限制$x_{max}$和最大速度限制$v_{max}$时，在范围内随机产生一个数值代替，或者将其设置为最大值，即边界吸收。

---

五、仿真实例

1. 问题

求下列函数的最小值，其中x的维数n=10。

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2,(-20\le x_i\le 20)$$

---

2. 分析

函数只有一个极小点$x=(0,0,...0)$，理论最小值$f(0,0,...0)=0$。

1. 初始化种群。N=100，粒子维数10，最大迭代次数200

参数设置如下表所示：

参数名称	参数大小
种群大小 $N$	100
维度 $D$	10
最大迭代次数	200
学习因子 $c_1=c_2$	1.5
惯性权重 $\omega$	0.8
$X_{max}$	20
$X_{min}$	20
$V_{max}$	10

2. 利用上述推导描述的算法框架进行实现。

---

3. matlab代码实现

核心代码如下，我已经逐行注释，可以自行阅读代码流程。

%%%%%%%%%%%%%%%%%粒子群算法求函数极值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;              %清除所有变量
close all;              %清图
clc;                    %清屏
N=100;                  %群体粒子个数
D=10;                   %粒子维数
T=200;                  %最大迭代次数
c1=1.5;                 %学习因子1
c2=1.5;                 %学习因子2
w=0.8;                  %惯性权重
Xmax=20;                %位置最大值
Xmin=-20;               %位置最小值
Vmax=10;                %速度最大值
Vmin=-10;               %速度最小值
%%%%%%%%%%%%%%%%初始化种群个体（限定位置和速度）%%%%%%%%%%%%%%%%
x=rand(N,D) * (Xmax-Xmin)+Xmin; % 初始化粒子位置
v=rand(N,D) * (Vmax-Vmin)+Vmin; % 初始化粒子速度
%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化个体最优位置和最优值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
p=x;                            % 初始化个体最优位置
pbest=ones(N,1);                % 初始化个体最优值
for i=1:N
    pbest(i)=func1(x(i,:));     % 计算个体适应度（最优）值
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化全局最优位置和最优值%%%%%%%%%%%%%%%%%%
g=ones(1,D);                    % 初始化全局最优位置
gbest=inf;                      % 将全局最好点设置为无穷大
for i=1:N                       % 更新全局最优解
    if(pbest(i)<gbest)          % 如果找到
        g=p(i,:);               % 全局最优位置
        gbest=pbest(i);         % 全局最优值
    end
end
gb=ones(1,T);                   % 追踪 T 次全局最优解
%%%%%%%%%%%按照公式依次迭代直到满足精度或者迭代次数%%%%%%%%%%%%%
for i=1:T                       % 开始迭代
    for j=1:N                   % 遍历所有个体
        %%%%%%%%%%%%%%更新个体最优位置和最优值%%%%%%%%%%%%%%%%%
        if (func1(x(j,:))<pbest(j))
            p(j,:)=x(j,:);              % 更新个体最优位置
            pbest(j)=func1(x(j,:));     % 更新个体最优值
        end
        %%%%%%%%%%%%%%%%更新全局最优位置和最优值%%%%%%%%%%%%%%%
        if(pbest(j)<gbest)
            g=p(j,:);                   % 更新全局最优位置
            gbest=pbest(j);             % 更新全局最优值
        end
        %%%%%%%%%%%%%%%%%跟新位置和速度值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
        v(j,:)=w*v(j,:)+c1*rand*(p(j,:)-x(j,:))...
            +c2*rand*(g-x(j,:));        % 更新速度
        x(j,:)=x(j,:)+v(j,:);           % 更新位置
        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%边界条件处理%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
        for ii=1:D                               % 遍历所有维度
            if (v(j,ii)>Vmax)  ||  (v(j,ii)< Vmin)
                v(j,ii)=rand * (Vmax-Vmin)+Vmin; % 处理速度边界
            end
            if (x(j,ii)>Xmax)  ||  (x(j,ii)< Xmin)
                x(j,ii)=rand * (Xmax-Xmin)+Xmin; % 处理位置边界
            end
        end
    end
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%记录历代全局最优值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    gb(i)=gbest;
end
disp('最优个体：')
disp(g);                         % 最优个体         
disp('最优值：')
disp(gb(end));                   % 最优值
figure
plot(gb)
xlabel('迭代次数');
ylabel('适应度值');
title('适应度进化曲线')

---

4. 效果展示

算法都收敛性是较好的，最优值变化曲线如下：

最优个体及最优值如下：

---

六、算法改进

1. 压缩因子粒子群算法

Clerc 等人提出利用 约束因子 控制系统行为的最终收敛，该方法可以有效搜索不同的区域，并且得到高质量的解。压缩因子的速度更新方法如下：

$$v_{ij}(t+1)=\lambda \cdot v_{ij}(t)+c_1{r}_1(t)[p_{ij}(t)-x_{ij}(t)]+c_2{r}_2(t)[p_{gj}(t)-x_{ij}(t)]$$

式中，$\lambda$为压缩因子：

$$\lambda =\frac{2}{|2-\phi -\sqrt{({\phi }^2-4\phi )}|}$$

其中，

$$\phi =c_1+c_2$$

使用具有约束因子的粒子群算法具有更快的收敛速度。

---

2. 离散粒子群算法

主要针对速度，将连续的速度转化为离散的值，进而进行位置的更新，主要公式如下：

$$s(v_{i,j})=\frac{1}{1+e^{-v_{i,j}}}$$

$$x_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& r<s(v_{i,j})\\ 0,& 其它\end{array}$$

其中，$r$是$U(0,1)$分布中产生的随机数。¹

---

the end……

粒子群算法到这里就要结束啦~~到此既是缘分，欢迎您的点赞、评论、收藏！关注我，不迷路，我们下期再见！！

我是Cherries，一位计算机科班在校大学生，写博客用来记录自己平时的所思所想！
内容繁杂，又才疏学浅，难免存在错误，欢迎各位大佬的批评指正！
我们相互交流，共同进步！

注：本文由非妃是公主发布于https://blog.csdn.net/myf_666，转载请务必标明原文链接：https://blog.csdn.net/myf_666/article/details/129405198

---

1. 包子阳,智能优化算法及其matlab实例.电子工业出版社. ↩︎