【人工智能】人工智能和双曲几何

一、说明

        作为人工智能技术的理论支撑，几何学是必不可少的；目前直接的几何技术有：计算几何--对集合体如点云处理有用；射影几何--对3d重构有用；双曲几何--在自然语言的词嵌入做基础数学模型，另外深度学习国外有双曲网络在应用。本文针对双曲几何进行探讨。

二、各种几何的关系

        从公理的角度划分几何种类。

        从公理角度说，射影几何的公理较少，仿射几何次之，欧几里得几何最多。因此它们所研究的题目由宽泛到特殊，从公理上都可以反映出。而非欧几何的公理与欧式几何一样多，但对第五公理（平行公理）进行改造，就产生不同的几何种类。

        因此，得到简单结论是：

• 欧式几何去掉几个公理得到射影几何。
• 欧式几何修正平行公理得到非欧几何。

三、非欧几何的诞生

        最早出现的非欧几何是双曲几何（Hyperbolic Geometry） 。系统地提出这个几何的是伟大的数学家罗巴切夫斯基Lobachevskii（1792-1856l；有些英文文献是Lobachevsky，俄国人的名字再翻译成英文时可以有些小差别。）所以这种几何被称作“Lobachevskii几何（Lobachevskian Geometry），也称为双曲几何（Hyperbolic Geometry）。

        在欧几里德几何，从诞生，到发展盛行了2000年。从来没有人怀疑其合理性。然而，一些敏锐的数学家对五大公理的平行线公理提出质疑。

        早期，巴切夫斯基试图证明平行公理，然而，似乎找不出合适有力证据说明其公理的合理性。于是转而研究非平行公理的合理性。逐步建立起一套非平行公理的几何模型。不过，这一重要的数学发现被罗巴切夫斯基提出后，在相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。罗巴切夫斯基在郁郁中终老，在世俗的嘲讽中，结束了一生，时1856年。

        直到1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

        在欧几里得几何中，一条直线可以延伸到无穷远，而在双曲几何中，直线却是有长度的，可以延伸到无穷远，但它不会与平面上的任何一条直线相交。同样，欧几里得几何中的平行线永远不会相交，而在双曲几何中，可以有无限多条平行线通过给定点。这些看似奇怪的性质使得双曲几何与欧几里得几何截然不同，但它却在许多领域中有着广泛的应用，例如物理学、天体测量学和计算几何学等。

四、双曲几何的基本观点

        双曲几何的主要观点包括以下几点：

1. 与欧几里德几何不同，双曲几何的公理系统不包括平行公理，因此不存在平行线概念。在双曲几何中，任意一条直线和一个点外的直线上存在无数条（不相交的）直线经过该点且与该直线垂直。

2. 双曲几何中的角度和距离概念与欧几里德几何不同。在双曲几何中，两条相交直线之间的夹角可以大于180度，而且距离是由角度来确定的。

3. 双曲几何中的平面是一个开口向外的双曲面，而非欧几里德几何中的平面。在双曲几何中，两条平行线在无穷远处会相交。

4. 双曲几何中的射线（无穷远的直线段）有两个端点，而欧几里德几何中的射线只有一个端点。这一点也影响了在双曲几何中的角度度量方式。

        这些观点导致了双曲几何与欧几里德几何的许多不同之处，例如在双曲几何中，三角形内角和可以小于180度，直线可以与自身相交，以及平行四边形的对角线可以相交。

五、对双曲几何有促进的人

        双曲几何是一种非欧几何，与欧几何相比，它的公理系统不同，因此具有不同的性质和特点。以下是双曲几何的历史贡献：

1. 伽利略在17世纪初写下了《几何学演义》，其中提出了一种逻辑上的非欧几何思想。这为后来的双曲几何的发展打下了坚实的基础。

2. 欧拉在18世纪初首次提出了“平行公设的否定”，即曾说出：在平面内经过点外一直线上的平行线恰有一条。这为非欧几何理论的建立提供了思路。

3. 黎曼在19世纪中叶开创了黎曼几何，它不同于欧氏几何和双曲几何，发展了现代数学和理论物理。

4. 希尔伯特在19世纪末提出了“公设派”的观点，即不依赖于自然观测和实验而只依赖公设的几何学，这对于双曲几何的公理化提供了帮助。

5. 20世纪初，比尔在其著作《几何学基础》中对欧几里得几何和非欧几何做了比较详细的讨论，进一步推动了双曲几何的发展。

        这些历史人物的贡献为双曲几何的理论和应用提供了重要的支持，使得双曲几何在现代数学和物理学中具有重要的地位。

六、双曲几何的应用场景

        双曲几何 具有特殊的性质和应用场景，其中包括：

1. 相对论和广义相对论中的几何学：爱因斯坦相对论指出，空间和时间的结构是由引力和物体的运动状态决定的。在双曲几何中，弧形线和三角形的性质使其成为描述引力场和时空扭曲的理想工具。

2. 通信系统中的误码率：双曲几何可以用于描述通信系统中的误差控制和数据传输速度。该理论有助于改善数据传输的稳定性和速度。

3. 密码学：双曲几何学的应用在密码学中也受到重视。通过双曲几何的特殊属性，可以设计出更加复杂的密码系统，提高加密算法的安全性。

4. 机器学习和数据挖掘：在机器学习和数据挖掘中，双曲几何可以用于将高维数据映射到低维空间以进行分类和聚类分析。这些方法可以提高数据处理和分析的效率。

5. 非欧几何的研究：双曲几何是非欧几何的一种，其研究对于了解欧几里得几何以外的几何学有重要贡献。

七、双曲几何和深度学习

        双曲几何与深度学习有一定的联系，主要体现在以下两个方面：

        1 双曲几何在神经网络中的应用

        双曲几何作为一种非欧几何几何学，可以用来描述非线性嵌入空间。深度学习算法在处理高维数据时，通常需要将数据点映射到低维空间中去，这就需要在高维空间中构建一个低维嵌入空间。而这个嵌入空间的形状直接影响算法的效果，而双曲几何正是一种理想的非欧几何模型。

        基于双曲几何模型的神经网络也被广泛研究。例如，以双曲空间作为输入空间的卷积、池化和全连接层，可以提高分类、聚类等任务的性能。

        2 深度学习在双曲几何研究中的应用

        深度学习的思想也可以被应用到双曲几何研究中。深度学习中的神经网络和深度学习技术为广大研究者提供了一种有效的计算工具，可以用来构建和研究各种复杂的双曲结构。

        例如，研究者可以使用深度学习算法，来构建双曲空间中的自编码器，用于学习双曲空间中的表示。此外，深度学习还可以用来构建双曲几何中的半监督学习模型，以及用于双曲流形上的分类和聚类模型。

        因此，双曲几何和深度学习之间存在着紧密的联系，具有一定的互补性。在未来的研究工作中，我们可以期待更多地探索双曲几何和深度学习之间的关系，以促进科学发展。

八、双曲几何和NLP

        对于NLP，双曲几何可以用来表示词汇和语义空间。它被认为比欧几里得几何更适合表达语义相似性和关系，因为在双曲空间中，距离不符合欧几里得距离的三角不等式，因此可以更好地处理非线性相关性和概念之间的高维关系。一些最新的自然语言处理技术，如BERT和GPT-3，都使用了双曲几何。

九、双曲几何图像处理

        双曲几何是研究非欧几何空间的一种数学方法，其基本思想是将欧几何的平行公设加以修正，将"直线"理解为曲线，将"平行"理解为不相交。

        在图像处理中，双曲几何可以用于图像变形、图像压缩和图像分类等方面。例如，双曲正切变换可以用于图像的拉伸和压缩，双曲正弦变换可以用于图像的旋转和扭曲。此外，双曲几何在图像分类中也有广泛应用，因为它可以有效处理非线性决策边界。

        总的来说，双曲几何在图像处理中的应用十分广泛，可以帮助我们更加准确地处理和分析图像数据。

十、双曲几何的未来展望

        双曲几何如今被广泛应用于不同领域，例如物理学、计算机图形学、通信、统计分析等。双曲几何的未来展望可以从以下几个方面来考虑：

1. 继续在基础理论层面上研究双曲几何的性质，例如双曲空间的拓扑、测量等问题。这将有助于更好地理解非欧几何的本质和更深层次的意义。

2. 在物理学中的应用方面，双曲几何可以帮助我们研究宇宙论中的时空曲率等问题，也可以应用于电磁场和引力场的研究中。

3. 在计算机图形学中，双曲几何可以用于建模、渲染和动画等领域，特别是在虚拟现实、增强现实等技术中的应用前景广阔。

4. 在统计分析中，双曲几何可以用于研究高维数据的表示和分析问题，特别是在机器学习、人工智能领域中的应用前景十分广泛。

        总之，双曲几何在多个领域都有着广泛的应用前景和研究价值，未来将继续发挥重要作用。