数学建模笔记（九）：差分方程与代数方程模型

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一、概述

1.引例

2.定义（函数的差分）

3.定义（差分方程）

4.差分方程的阶

5.差分方程的解

解是一个函数

6.差分方程与微分方程的联系

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二、一阶常系数线性差分方程

1.一阶常系数齐次线性差分方程

（一）一般形式

（二）解法——迭代法

（三）解法——特征根法

2.一阶常系数非齐次线性差分方程

（一）一般形式

（二）解法

通解$+$特解：$y_x+y_x^{\ast }$

通解$y_x$依照上方进行求解

特解$y_x^{\ast }$的求法（待定系数法/常数变易法）

$P_n(x)$为多项式

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三、二阶常系数线性差分方程

1.二阶常系数齐次线性差分方程

（一）一般形式

（二）解法——特征方程法

2.二阶常系数非齐次线性差分方程

（一）解法

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四、贷款购房

1.问题背景

2.模型假设与建立

3.结果分析

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五、管住嘴迈开腿

1.问题背景

2.模型分析

3.模型假设

4.模型建立

5.模型计算（给定初始条件）

6.小结与评注

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六、市场经济中物价的波动

1.问题背景

2.模型假设

3.差分方程模型建立

4.模型分析

5.蛛网模型

6.结果分析

（一）两种模型的一致

（二）政府干预手段

（三）差分方程模型的推广

7.小结与评注

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七、动物的繁殖与收获

1.问题背景

2.模型假设（按年龄分组的动物种群增长模型）

3.模型建立（按年龄分组的动物种群增长模型）

4.模型求解（按年龄分组的动物种群增长模型）

5.结果分析（按年龄分组的动物种群增长模型）

6.模型建立（饲养动物种群的持续稳定收获模型）

7.模型求解（饲养动物种群的持续稳定收获模型）

8.小结与评注

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八、信息传播

1.问题背景

2.模型假设

3.模型建立

4.模型求解

5.logistic微分方程的离散形式

（一）简化为一阶非线性差分方程

方程(1)：$p_{k+1}-p_k=c{p}_k(N-p_k)$

方程(2)：$p_{k+1}=(1+cN)p_k(1-\frac{c}{1+cN}{p}_k)$

（二）该方程的平衡点及其稳定性

6.模型讨论

7.模型拓展——人工干预传播

8.小结与评注

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九、原子弹爆炸的能量估计

1.问题背景

2.量纲其次原则——介绍

3.量纲齐次原则——单摆运动

4.$\pi$定理

5.模型建立（量纲分析方法）

6.模型计算

7.量纲分析法评注

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十、CT技术的图像重建

1.问题背景

CT可以多角度多层次观察

2.X射线强度衰减与图像重建的数学原理

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十一、等级结构

1.问题背景

2.基本模型

3.用调入比例进行稳定控制

4.小结与评注

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