[Daimayuan] 一半相等（C++，数学）

给定 $n$ （$n$ 为偶数）个整数数组 $a_1,a_2,\dots ,a_n$

考虑这样的一个 $k$，每次操作选定一个 $i$，将 $a_i$ 减少 $k$，执行多次（可能 $0$ 次）后使得数组中至少有一半的元素相等，求最大的 $k$，如果这样的 $k$ 为无穷大，输出 $-1$

输入格式

输入包含两行，第一行为一个正整数 $n$，表示数组大小。第二行为 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$

输出格式

输出题意中的 $k$

样例输入

8
-1 0 1 -1 0 1 -1 0

样例输出

2

数据规模

$4\le n\le 100$，数据保证 $n$ 为偶数

$-10^6\le a_i\le 10^6$

解题思路

既然有一半的元素能够在相同的$k$的作用下达到相等即达到一个共同的值。

那么这一半的元素到这个共同值的距离可以被$k$整除，而要求$k$尽可能的大，故类似于最大公约数。

（当数组中已经有就有一半的元素相等，那么可以直接输出$-1$。）

但是我们要求哪一半元素？又是要求到谁的距离呢？

（注意是距离，也就是差值的绝对值，因为转化是双向的，如$1-2=-1,-1-(-2)=1$）

因为存在这样一种情形：一半的元素到$x$的距离的gcd，大于到$y$的距离的gcd。

例如：$2,5$到$0$的距离的最大公约数是$1$，而到$-1$的距离的最大公约数是$3$。

所以选择的目标位置会对最终的结果产生影响。

但是我们可以证明目标位置一定在给定的数组中：

直观起见，以下面这个数组为例，应该选择的一半元素是$2,5,8,8$。

2 5 3 3 8 8

对此，我们可以选择$-1$作为目标位置，拿到最大公约数$3$。

但是我们同样也可以选择$2$作为目标位置，拿到最大公约数$3$。

我们想不出一种比较好的算法来解决以上的两个问题，所以采用暴力搜索（毕竟$n\le 100$）：

1）尝试将每一个数作为目标位置；

2）计算其他所有数到目标位置的距离；

3）求出距离的所有的因子并统计其出现的频率；

4）保留最大的因子。

最后，AC代码如下：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int max_n = 100;

int arr[max_n];
map<int, int>freqs;

void division(int x) {
	int i;
	for (i = 1; i * i < x; i++) {
		if (x % i == 0) {
			freqs[i]++;
			freqs[x / i]++;
		}
	}
	if (i * i == x) freqs[i]++;
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> arr[i];
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		const int temp = arr[i];
		int cnt = 0;
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			if (temp == arr[j]) cnt++;
			else division(abs(temp - arr[j]));
		}
		if (cnt >= n / 2) {
			cout << -1 << endl;
			return 0;
		}
		for (auto iter : freqs)
			if (iter.second + cnt >= n / 2) 
				ans = max(ans, iter.first);
		freqs.clear();
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}