【构造】0617 Edge Split

题意：

给定一个 $n$ 点 $m$ 条边的无向连通图，其中 $1\le m\le n+2$。$m$ 条边中有一些条边被染成红色，剩下的边被染成蓝色。只考虑红色边，有 $c_1$ 个连通分量。只考虑蓝色边，有 $c_2$ 个连通分量。请你给边进行染色，最小化 $c_1+c_2$。

数据范围：$2\le n\le 2\times 10^5,n-1\le m\le \min (n+2,\frac{n\times (n-1)}{2})$

题解：
一开始的思路是，先考虑一棵树，即 $m=n-1$ 的情况。假设有 $k$ 条红边，$n-1-k$ 条蓝边。

对于 $c_1$ ，一条红边相当于缩减一个连通分量
对于 $c_2$ ，一条蓝边相当于缩减一个连通分量

可以看成两棵树，一共有 $2n$ 个连通分量，$c_1+c_2=2n-k-(n-1-k)=n+1$

接下来扩展，$m=n$，此时必然有一个环，但是我们可以将其拆开看。

假设所在环长度为 $len$，颜色都是红色，对于蓝色来说，断掉红色边，就相当于这个环上至少有 $len$ 个连通分量，如果将其中一条边修改为蓝色，那么对于红色来说，断掉蓝色边，由于是个环，连通分量数依旧不变，但是对于蓝色来说，断掉红色边，存在两个点是一个连通分量了，总体是减1的。但是如此，继续修改红色边为蓝色边，对于红色的连通分量就要增加1，对于蓝色的连通分量依旧是减少1，所以不变。

故可以得出结论，只要不存在环，就可以使得每条边都可以减少一个连通分量（不论是对于红色还是蓝色来说）

故可以先构造一棵生成树，全为红色。剩下 $m-n+1$ 条边判断是否会构成环，如果不构成环，全部为蓝色，如果构成环，就把任意一条边染成红色，然后这条边的其中一个点的所有边都染成蓝色，如此，对于蓝色来说就是一条链+两端叶子，对于红色也不会成环了。（注意这里只能把这个边其中一个点对应的所有边都染成蓝色，否则可能会导致蓝色环）

#include 
using namespace std;

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<pair<int, int>>> g(n);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        u--, v--;
        g[u].emplace_back(v, i);
        g[v].emplace_back(u, i);
    }

    int cycle = -1;
    int edge = -1;
    vector<int> ans(m);
    vector<int> vis(n, 0);
    set<int> S;
    function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int fa) {
        vis[u] = 1;
        for (auto& [v, idx]: g[u]) {
            if (v == fa) continue;
            if (vis[v]) {
                ans[idx] = 0;
                edge = idx;
                cycle = v;
                S.insert(u);
                S.insert(v);
                continue;
            }
            ans[idx] = 1;
            dfs(v, u);
        }
    };

    dfs(0, -1);
    if (m == n + 2 && S.size() == 3) {
        for (auto& [v, idx]: g[cycle]) {
            if (edge == idx) ans[idx] = 1;
            else ans[idx] = 0;
        }
    }

    for (int u: ans) cout << u;
    cout << "\n";
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T = 1;
    cin >> T;
    while (T--) solve();

    return 0;
}