leetcode:39. 组合总和

题目来源

  • leetcode:39. 组合总和combination-sum

题目描述

leetcode:39. 组合总和_第1张图片

题目解析

如何快速判断一道题是否应该使用DFS + 回溯算法来爆搜。可以从两个方面来考虑:

  • 求的是所有的方案,而不是方案数。由于求得是所有方案,不可能有什么特别的优化,我们只能进行枚举,这时候可能的解法有动态规划、记忆化搜索、DFS + 回溯算法
  • 通常数据范围不会太大,只有几十。 如果是动态规划或是记忆化搜索的题的话,由于它们的特点在于低重复/不重复枚举,所以一般数据范围会很大 ,而 DFS + 回溯的话,通常会限制在 30 以内。

这道题数据范围是 30 以内,而且是求所有方案,因此我们使用 DFS + 回溯来求解。

递归回溯

本题没有数量要求,可以无限重复,但是有总和的限制,所以间接的也是有个数的限制。

本题搜索的过程抽象成树形结构如下:
leetcode:39. 组合总和_第2张图片

注意图中叶子节点的返回条件,因为本题没有组合数量要求,仅仅是总和的限制,所以递归没有层数的限制,只要选取的元素总和超过target,就返回!

而leetcode:77. combinations组合要取k个元素的组合,所以要递归k层

三部曲:

(1)参数

  • 定义两个全局变量,二维数组result存放结果集,数组path存放符合条件的结果。

  • 然后:

    • 需要题目中给出的参数,集合candidates, 和目标值target。
    • 还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和,其实这个sum也可以不用,用target做相应的减法就可以了,最后如何target==0就说明找到符合的结果了,但为了代码逻辑清晰,我依然用了sum。
    • 本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置,对于组合问题,什么时候需要startIndex呢?
      • 如果是一个集合来求组合的话,就需要startIndex,比如leetcode:77. combinations组合
      • 如果是多个集合取组合,各个集合之间相互不影响,那么就不用startIndexleetcode:17. letter-combinations-of-a-phone-number 电话号码的字母组合
  • 注意以上只是说求组合的情况,如果是排列问题,又是另一套分析的套路。

  • 代码如下:

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex)

(2)递归终止条件

  • 在如下树形结构中:
    leetcode:39. 组合总和_第3张图片
  • 从叶子节点可以清晰看到,终止只有两种情况,sum大于target和sum等于target。sum等于target的时候,需要收集结果
  • 代码如下:
if (sum > target) {
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}

(3)单层搜索的逻辑

  • 单层for循环依然是从startIndex开始,搜索candidates集合。
  • 注意leetcode:77. combinations组合的一个区别是:本题元素为可重复选取的。
  • 如何重复选取呢,看代码,注释部分:
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
    sum += candidates[i];
    path.push_back(candidates[i]);
    backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了,表示可以重复读取当前的数
    sum -= candidates[i];   // 回溯
    path.pop_back();        // 回溯
}

完整代码如下:

// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void process(vector<int>& cs, int target, int sum, int startIdx) {
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        for (int i = startIdx; i < cs.size(); i++) {
            sum += cs[i];
            path.push_back(cs[i]);
            process(cs, target, sum, i); // 不用i+1了,表示可以重复读取当前的数
            sum -= cs[i];
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        process(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

(4)剪枝优化

  • 如下树形结构中
    leetcode:39. 组合总和_第4张图片
  • 以及上面的版本一的代码大家可以看到,对于sum已经大于target的情况,其实是依然进入了下一层递归,只是下一层递归结束判断的时候,会判断sum > target的话就返回。
  • 其实如果已经知道下一层的sum会大于target,就没有必要进入下一层递归了。
  • 那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了
  • 对总集合排序之后,如果下一层的sum(就是本层的 sum + candidates[i])已经大于target,就可以结束本轮for循环的遍历。如下图:

leetcode:39. 组合总和_第5张图片

  • for循环剪枝代码如下:
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)

整体代码如下:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void process(vector<int>& cs, int target, int sum, int startIdx) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIdx; i < cs.size() && sum + cs[i] <= target; i++) {
            sum += cs[i];
            path.push_back(cs[i]);
            process(cs, target, sum, i);
            sum -= cs[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& cs, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(cs.begin(), cs.end()); // 需要排序
        process(cs, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

实现二:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void process(vector<int>& cs, int rest, int startIdx) {
        if(rest < 0){
            return;
        }

        if (rest == 0) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIdx; i < cs.size() ; i++) {
            path.push_back(cs[i]);
            process(cs, rest - cs[i], i);  // 同一个数可以用无限次
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& cs, int target) {
        process(cs, target,  0);
        return result;
    }
};


在求和问题中,排序之后加剪枝是常见的套路!

回溯

对于这类寻找所有可行解的题,我们都可以尝试用「搜索回溯」的方法来解决。

  • 我们定义递归函数 d f s ( t a r g e t , c o m b i n e , i d x ) dfs(target,combine,idx) dfs(target,combine,idx)表示当前在 c a n d i d a t e s candidates candidates数组中第 i d x idx idx位,还剩 t a r g e t target target要组合,已经组合的列表为 c o m b i n e combine combine
  • 递归终止条件为 t a r g e t ≤ 0 target≤0 target0或者 c a n d i d a t e s candidates candidates数组被全部用完。
  • 在当前函数中,每次我们可以选择跳过不用第 i d x idx idx个数,即 d f s ( t a r g e t , c o m b i n e , i d x + 1 ) dfs(target,combine,idx + 1) dfs(target,combine,idx+1),或者用第 i d x idx idx个数,即 d f s ( t a r g e t − c a n d i d a t e s [ i d x ] , c o m b i n e , i d x ) dfs(target - candidates[idx],combine,idx ) dfs(targetcandidates[idx],combine,idx),注意到每个数字可以无限被选取,因此搜索下标仍未 i d x idx idx

其对应递归树如下。可以看出,每次搜索都会衍生出两个分叉,知道递归终止
leetcode:39. 组合总和_第6张图片

class Solution {
    vector<vector<int>> ans; // 最终结果集
    vector<int> path;          //当前结果集
    /**
   * cs: 原数组,从该数组进行选数
   * rest: 还剩多少值需要凑成。起始值为 target ,代表还没选择任何数;当 rest = 0,代表选择的数凑成了 target
   * idx: 当前决策到 cs[] 中的第几位
   */
    void dfs(vector<int>& cs, int rest, int idx) {
        if(idx == cs.size()){
            return;
        }

        if(rest == 0){
            ans.emplace_back(path);
            return;
        }

        // 直接跳过
        dfs(cs, rest, idx + 1);
        // 选择当前数
        if(rest - cs[idx] >=  0){// 限制
            path.emplace_back(cs[idx]);
            dfs(cs, rest - cs[idx], idx);
            path.pop_back(); // // 撤销
        }

    }
public:
    // 1 <= target <= 500
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& cs, int target) {
        dfs(cs, target, 0);
        return ans;
    }
};

完全背包

这是一道典型的完全背包问题。每个物品可以无限取,要求刚好装满背包的方案数。不同的是这道题要求dp数组中存的是和为j的所有组合

class Solution {
    // 完全背包问题
    // dp[j] 和为j的所有组合
    // dp[j] = dp[j] + (dp[j-candidates[i]]+candidates[i])

public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        vector<vector<vector<int>>> dp(target+1);

        for (int i = 0; i < candidates.size(); ++i) {  // 物品
            for (int j = candidates[i]; j <= target; ++j) {  // 尝试去放入重量为j的背包中
                for(auto it : dp[j - candidates[i]]){
                    auto tmp(it);
                    tmp.push_back(candidates[i]);
                    dp[j].push_back(move(tmp)); //移动语义提高效率
                }
            }
        }

        return dp.back();
    }
};

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