Linear Algebra Guide 01 - 向量缩放和矩阵线性变换

向量缩放以及张成空间

向量缩放

自由的标量

在向量前添加标量，在可视化的层面上，我们可以看到向量的长度会随着标量的改变而改变，这种情况我们称为向量的缩放。
通过向量的缩放，(两个变量复合可以决定结果向量的方向和值大小)复合向量可遍布所在空间任意一个点。

不在同一点和同方向的向量,通过标量缩放可得到所有向量

如何看待向量缩放
如果两个向量是同一点的零向量，则可将其作为一个点；
如果两个向量是同一方向或者反方向，则可将其作为一条线；
如果两个向量有不同的方向且不为零向量，则可将其作为一个平面；

张成空间

矩阵与线性变换

一个向量可在其所在空间进行任意的线性变换。
每一个矩阵都可以看作是线性变换，矩阵乘法也是由线性变换的复合引出的。

线性变换

变换本质上是函数的一种花哨的说法
input -> f(transform) -> output
变换一词在暗示你用运动去思考，一种理解向量的函数的方法是使用运动。
使用变换是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系。

通过运动来理解变换（函数运算）

线性变换的要求，上图是将无限网格同时进行线性变换

矩阵乘法可以描述线性变换

其中i, j 为基向量, v 为目标向量， 三个向量都进行了线性变换

变换之后，新的v向量是变换之后的新的基向量的线性组合，组合系数没有改变。

复合变换

可以通过加入特定矩阵运算，来对空间向量进行变换。

旋转后剪切

矩阵乘法的运算1

矩阵乘法的运算2

矩阵乘法的运算3

矩阵相乘的顺序

矩阵相乘的顺序

矩阵相乘的先后顺序是有着操作的实际意义，所以矩阵操作顺序的改变会导致最终向量结果不同
M1*M2 != M2*M1。
由于向量的运算是从右至左，所以结合律并不会影响最终向量结果，下述关系都是从M3 -> M2 -> M1
(M1M2)M3===M1(M2M3)

三维空间的线性变换

三维变量表示三维空间向量

多维空间的线性变换判断与二维面一致

三维空间所有向量点进行线性变换

三维线性变换