高中奥数 2021-09-10

2021-09-10-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P039 例5）

如图,给定锐角三角形,为外心,直线交边于,动点、在、上,使得、、、四点共圆.求证:线段在上的投影为恒定长度.

图1

证明

取上一点,上一点满足、、、四点共圆.

下面证明:在上的投影长度等于在上的投影长度,由正弦定理,

连结、、、,则,,所以,于是,即.

~\

2021-09-10-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P040 例6）

如图在中,,点在的外接圆的弧(不含点)内,,连结并延长至点,使得,连结交圆于点,连结,记的外心为,求证:、、三点共线.(2009年女子数学奥林匹克)

图2

证明

作的外接圆交延长线于点,连结、.

注意到平分,所以在圆内平分,则为的中点,.

由于,(1)

,(2)

由(1)、(2)知.

从而在以为圆心,为半径的圆上.

所以,与重合,于是、、共线.