初步理解正态分布

本文关注正态分布的一些理解上的关键点，求消化不求详细。

---

中心极限定理（Central Limit Theorem）

中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。我每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样，对这n个抽样取平均值，总共抽取关计算 m 次。 则这m个平均值数据分布接近正态分布。

核心观念是无论之前各值的分布情况是怎么样的，取样计算的平均值会符合正态分布，这一点使得正态分布的适用范围很大，当然前提条件是取样是随机的，值是独立的。一般来讲取样数量大于30个（即n>30）就可以让中心极限定理发挥作用。不同分布情况下取平均值后得到的正态分布可以见如下图示：

平均分布 from statistical-engineering.com

倒数分布 from statistical-engineering.com

三角分布 from statistical-engineering.com

抛物线分布 from statistical-engineering.com

应用上的例子可以是掷骰子，投掷1000次，可以得到近似平均的分布：

而如果每次投掷30次（n次），然后计算点数平均值。总共进行1000组（m组），即可以得到粗略的正态分布：

增加样本数量或组数可以得到更细的正态分布：

掷骰子的例子就是由平均分布的点数，多次抽样求出的平均值符合正态分布的情况。

正态分布本身

标准正态分布（概率密度函数）的表达式为：

其有几个特点：

1. p(x)始终大于0，且关于0点左右对称；

2. 积分为1；

3. 期望为0，方差为1；

一般正态分布是在标准正态分布基础上平移或缩放得到的。如缩放sigma（标准差）后平移mu（期望）得到概率密度函数公式为：

所以知道了期望和方差，就可以完全确定该正态分布。

如下图中的四条正态分布曲线，期望值（mu）体现为曲线的平移，方差（sigma平方）代表缩放程度。方差越小曲线越瘦高。

from wikipedia