算法与数据结构——递归算法+回溯算法——八皇后问题

八皇后问题

八皇后问题是一个经典的回溯算法问题，目的是在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得没有皇后可以互相攻击（即没有两个皇后在同一行、同一列或同一对角线上）。

回溯算法是一种解决问题的算法，它通过尝试所有可能的解决方案来解决问题。在八皇后问题中，计算机从棋盘的第一行开始，尝试在每个格子里放一个皇后，然后递归地向下一行棋盘延伸，直到成功地放置所有皇后，或者找到了不行的放置方式，就回溯到上一行来找到新的放置方式。

八皇后问题是经典的计算机科学问题之一，同时也是深度学习和人工智能中的一个重要案例。 许多算法都可以解决这个问题，包括暴力搜索、深度优先搜索、启发式搜索、遗传算法等。

递归算法

递归算法是一种解决问题的算法，它将问题拆分成一个或多个相同的子问题，然后通过求解这些子问题来逐步求解原问题。递归算法通常使用函数或方法进行实现，函数或方法本身会调用自身或其他函数或方法来完成求解。

在实现递归算法时，需要考虑以下几个方面：

1. 退出条件：递归过程中必须有退出条件，否则会出现无限递归的情况。
2. 子问题拆分：原问题必须能够拆分成相同的子问题，子问题之间必须有边界，子问题之间不会循环依赖。
3. 递归调用：递归过程中必须正确调用自身或其他函数或方法，同时要维护好递归状态，确保函数执行时的状态正确性。

递归算法在生物学、计算机科学、语言学和数学等领域都有应用。在计算机科学领域，递归算法被广泛应用于实现数据结构、排序、查找、图形和应用程序的设计等。常见的递归算法包括二叉树的遍历、图的遍历、动态规划等。

回溯算法

回溯算法是一种解决问题的算法，通常用于在一个大的问题中求解所有可能的解决方案。该算法通过不断尝试解决方案中的每个选择，直到找到可行解或者无法继续尝试后，再回溯到前一步做出新的选择，继续尝试其他的选择，直到找到所有的解或者没有解。

回溯算法通常采用递归方式来实现，每次递归时，将当前的选择作为参数传递到下一次递归中，并在递归返回时恢复现场。在实现中，通常通过由一个标志来表示当前状态的合法性，并在选择时剪枝，只保留合法的选择，以避免重复的尝试。

回溯算法具有普适性，可以解决一大类问题，如排列问题、组合问题、划分问题、子集问题、连通性问题、游戏问题、迷宫问题等。同时，回溯算法也是NP完全问题的解决算法之一，如旅行商问题、背包问题等。

虽然回溯算法是一种朴素的暴力搜索算法，但是在面对一些规模较小的问题时，它往往具有不错的解决效果。

python实现八皇后问题

以下是Python的一种实现方式，用回溯算法求解八皇后问题：

def solve_n_queens(n):
    res = []

    def backtrack(board, row):
        if row == n:
            res.append(list(board))
            return
        for col in range(n):
            if not is_valid(board, row, col):
                continue
            board[row][col] = 'Q'
            backtrack(board, row+1)
            board[row][col] = '.'

    def is_valid(board, row, col):
        n = len(board)
        # 检查列是否有皇后冲突
        for i in range(n):
            if board[i][col] == 'Q':
                return False
        # 检查右上方是否有皇后冲突
        for i, j in zip(range(row-1, -1, -1), range(col+1, n)):
            if board[i][j] == 'Q':
                return False
        # 检查左上方是否有皇后冲突
        for i, j in zip(range(row-1, -1, -1), range(col-1, -1, -1)):
            if board[i][j] == 'Q':
                return False
        return True

    board = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    backtrack(board, 0)

    return res

该算法的时间复杂度为$O(N!)$，其中$N$为皇后个数。在$N=8$时，该算法可以在很短的时间内求解出所有的八皇后问题的解。

java实现八皇后问题

以下是Java的一种实现方式，用回溯算法求解八皇后问题：

import java.util.*;

public class NQueens {
    public static List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        List<List<String>> res = new ArrayList<>();

        backtrack(new char[n][n], 0, res);

        return res;
    }

    private static void backtrack(char[][] board, int row, List<List<String>> res) {
        if (row == board.length) {
            List<String> solution = new ArrayList<>();
            for (char[] c : board) {
                solution.add(new String(c));
            }
            res.add(solution);
            return;
        }

        for (int col = 0; col < board.length; col++) {
            if (!isValid(board, row, col)) {
                continue;
            }
            board[row][col] = 'Q';
            backtrack(board, row+1, res);
            board[row][col] = '.';
        }
    }

    private static boolean isValid(char[][] board, int row, int col) {
        // 检查列是否有皇后冲突
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (board[i][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        // 检查右上方是否有皇后冲突
        for (int i = row-1, j = col+1; i >= 0 && j < board.length; i--, j++) {
            if (board[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        // 检查左上方是否有皇后冲突
        for (int i = row-1, j = col-1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (board[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    public static void main(String[] args) {
        List<List<String>> solutions = solveNQueens(8);
        for (List<String> solution : solutions) {
            for (String row : solution) {
                System.out.println(row);
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

该算法的时间复杂度为$O(N!)$，其中$N$为皇后个数。在$N=8$时，该算法可以在很短的时间内求解出所有的八皇后问题的解。