C++题解：树的最长路径

题目描述

给定一棵树，树中包含 n 个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个权值。

现在请你找到树中的一条最长路径。

换句话说，要找到一条路径，使得使得路径两端的点的距离最远。

注意：路径中可以只包含一个点。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n−1 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,c_i$，表示点 $a_i$ 和 $b_i$ 之间存在一条权值为 $c_i$ 的边。

输出格式

输出一个整数，表示树的最长路径的长度。

数据范围

$1\le n\le 10000$,
$1\le a_i,b_i\le n$,
$-10^5\le c_i\le 10^5$

输入样例

6
5 1 6
1 4 5
6 3 9
2 6 8
6 1 7

输出样例

22

算法思想（DFS）

根据题目描述，要找到一条路径，使得路径两端的点的距离最远，注意树中每条边的权值不同。我们可以任选一个点$u$作为根结点，只要求出到$u$距离最远的两个点，不妨设它们到$u$的距离分别是$d_1,d_2$，那么$d_1+d_2$一定是树中最长路径。

证明

反证法。假设到$u$距离最远的两个点分别是$v_1,v_2$，它们到$u$的距离分别是$d_1,d_2$，并且$d_1+d_2$不是树中最长路径。假设存在两个点$x,y$，且路径$xy$之间的距离是树中最长的路径。那么根据$xy$是否经过$u$点可以分为两种情况：

1. 路径$xy$经过$u$点，如下图所示：
   
   不妨设$x,y$到结点$u$的距离为$d_3,d_4$。根据假设，路径$xy$之间的距离是树中最长的路径，那么$d_3+d_4>=d_1+d2$，而$v_1,v_2$是到$u$的距离最远的两个点，所以$d_1+d_2>=d_3+d_4$，所以假设只有在它们相等时成立。

2. 路径$xy$不经过经过$u$点，如下图所示：
   
   因为树是连通的，所以$x$和$y$一定可以到达$u$，不妨设$x,y$之间的距离为$xy$，它们到结点$u$的距离为$d_3,d_4$，那么$d_3+d_4>xy$。而$v_1,v_2$是到$u$的距离最远的两个点，所以$d_1+d_2>=d_3+d_4$，那么$d_1+d_2>xy$，因此假设不成立。

证毕。

算法实现

使用邻接表实现一棵无根树，在树中任选一点u作为根结点：

• 通过DFS求出所有点到u的最长距离d1和次长距离d2
• d1+d2就是经过点u的最长路径
• 打擂台求出所有最长路径中的最大值

时间复杂度

对于每个点，只求一次最长路径，所以时间复杂度为$O(n)$

代码实现

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 100010, M = 2 * N;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int n, ans;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

//计算经过u点的路径长度最大值
int dfs(int u, int father)
{
    //dist表示从u往下走的最大长度
    int dist = 0;
    //到u点的最长距离和次长距离
    //初始为0即可，负数表示路径不存在
    int d1 = 0, d2 = 0;
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int v = e[i];
        if(v == father) continue; //防止回上一层搜索
        
        //求子结点的向下走的最大长度
        int d = dfs(v, u) + w[i]; 
        dist = max(dist, d);
        
        //更新最长距离和次长距离
        if(d >= d1) d2 = d1, d1 = d;
        else if(d > d2) d2 = d;
    }
    
    //打擂台求经过u点的最长路径距离
    ans = max(ans, d1 + d2);
    return dist;
}

int main()
{
    cin >> n;
    //初始化邻接表头指针
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i = 0; i < n - 1; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        //实现无根树，每条边保存两次
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    dfs(1, -1);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}