证明 可逆矩阵A的各列线性无关

首先需证明一个定理:若A是可逆n×n矩阵,则对每一Rn中的b,方程Ax=b有唯一解x=A-¹b

先证上述定理:取Rn中的任意一个b,Ax=b有解。

若以A-¹bx,则Ax=A·(A-¹b)=Ib=b

说明A-¹b是解(解得存在性)。

再证解得唯一性:若u是一个解,则Au=b,两边同时乘以A-¹,

即A-¹(Au)=Iu=u=A-¹b。所以u=A-¹b,且为唯一解。

以上是开头定理的证明。

根据上述定理知,当取Rn中任意一个b时,设b=0,

x的唯一解A-¹b=A-¹ ·0 =0,

即对于A的各列的线性组合的权矩阵等于0

x1·a1+x2·a2+······xp·ap=0,(a1,a2,ap为A矩阵的各列列向量)

x1=x2=······=xp=0;所以可逆矩阵各列线性无关。


有上述知:可逆n×n矩阵A的各列构成Rn的一组基

Rn中子空间H的一组基是H中的一个线性无关集,它生成H



你可能感兴趣的:(线性代数,可逆矩阵,线性无关,子空间的基)