【Codeforces】 CF1515E Phoenix and Computers

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题目解法

考虑开电脑的过程相当于连通块的操作，可以不考虑每个点的真实位置，只考虑每个点在当前几个点中的相对位置
可以令 $dp[i][j]$ 表示有 $i$ 个点，构成 $j$ 个连通块的方案数，其中每个点之间有序
向这类维护连通块的 $dp$ 有一个特殊的做法（可以包含 添加新的连通块，在连通块中添加新的元素，合并 $2$ 个连通块 的操作）

1. 添加新的连通块
   即新加一个元素构成一个连通块
   $dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\ast j$，即考虑可以这个连通块在 $j$ 个连通块的位置
2. 添加新的元素
   有2种情况
   • 直接在前面或后面加一个元素
     $dp[i][j]=dp[i-1][j]\ast j\ast 2$，即选一个连通块，考虑加在前面还是后面
   • 在前面或后面隔一位加一个元素，夹在中间的元素会自动加上
     $dp[i][j]=dp[i-1][j]\ast j\ast 2$
3. 合并2个连通块
   有2种情况
   • 2个连通块中间隔着2个元素，任选一个手动添加即可
     $dp[i][j]=dp[i-2][j+1]\ast j\ast 2$
   • 2个连通块之间隔着3个元素，选中间一个手动添加即可
     $dp[i][j]=dp[i-3][j+1]\ast j$

时间复杂度 $O(n^2)$

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N(410);
int n,P,dp[N][N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
int main(){
	n=read(),P=read();
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++){
			//新增一个连通块
			(dp[i][j]+=(LL)dp[i-1][j-1]*j%P)%=P;
			//在块中新增元素
			(dp[i][j]+=(LL)dp[i-1][j]*j*2%P)%=P;
			if(i>=2) (dp[i][j]+=(LL)dp[i-2][j]*j*2%P)%=P;
			//合并块
			if(i>=2) (dp[i][j]+=(LL)dp[i-2][j+1]*j*2%P)%=P;
			if(i>=3) (dp[i][j]+=(LL)dp[i-3][j+1]*j%P)%=P;
		}
	printf("%d",dp[n][1]);
	return 0;
}
//dp[i][j]:有i个电脑,分成了j个连通块的方案数