【Luogu】 P5770 [JSOI2016]无界单词

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题目解法

我们发现无界单词即为 $border$ 长度为 $0$ 的字符串，用 $g[i]$ 表示长度为 $i$ 的无界单词的个数
考虑求解 $g[i]$，正难则反，用 $2^i-border$长度不为 $0$ 的字符串个数
这里给出一个结论：任何长度为 $len$ 的字符串的最小 $border$ 长度一定 $\le \lfloor \frac{len}{2}\rfloor$，这个结论画个图，用反证法可以简单证明出来
我们可以枚举字符串的最小 $border$ 长度 $j$，可以发现只有当字符串是无界单词时，才可能是最小的 $border$，所以 $g[i]=2^i-{\sum }_{j=1}^{\lfloor \frac{i}{2}\rfloor }g[j]\ast 2^{i-2j}$

考虑第二问
一位一位往后枚举，每一位试填 $0$，计算无界单词的个数，决定 $0,1$
继续考虑用 $dp[i]$ 表示前 $i$ 位为无界单词的字符串个数
分类讨论（若当前试填第 $len$ 位）：

1. $i<=len$，即前 $i$ 为确定，直接暴力判断即可
2. $i>=2\ast len$
   这种情况的做法和之前求 $g$ 数组的方法一样
   $dp[i]=2^{i-len}-{\sum }_{j=1}^{\lfloor \frac{i}{2}\rfloor }dp[j]\ast 2^{i-j-max(len,j)}$
3. $len<i<2\ast len$
   可以分段考虑
   当 $1\le j\le i-len$ 时，减去的为 $\sum dp[j]\ast 2^{i-len-j}$
   当 $i-len<j\le \lfloor \frac{i}{2}\rfloor$ 时，需要判断 $[1,len-i+j]$ 与 $[i-j+1,len]$ 是否相同，相同减去1

#include 
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int N(70);
int n,ans[N];
ull pw[N],g[N],dp[N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
bool same(int l1,int r1,int l2,int r2){
	for(int i=0;i<=r1-l1;i++) if(ans[i+l1]!=ans[i+l2]) return 0;
	return 1;
}
bool check(int rb){//判断1-rb的border是否为0 
	for(int i=1;i<=rb/2;i++) if(same(1,i,rb-i+1,rb)) return 0;
	return 1;
}
void work(){
	int n;ull k;
	scanf("%d%llu",&n,&k);
	printf("%llu\n",g[n]);
	for(int len=1;len<=n;len++){
		ans[len]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(i<=len) dp[i]=check(i);
			else if(i>=2*len){
				dp[i]=pw[i-len];
				for(int j=1;j<=i/2;j++) dp[i]-=dp[j]*pw[i-max(j,len)-j];
			}
			else{
				dp[i]=pw[i-len];
				for(int j=1;j<=i-len;j++) dp[i]-=dp[j]*pw[i-len-j];
				for(int j=i-len+1;j<=i/2;j++) if(same(1,len-i+j,i-j+1,len)) dp[i]-=dp[j];
			}
		}
		if(dp[n]<k) k-=dp[n],ans[len]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) putchar(ans[i]+'a');
	puts("");
}
int main(){
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=64;i++) pw[i]=pw[i-1]*2;
	for(int i=1;i<=64;i++){
		g[i]=pw[i];
		for(int j=1;j<=i/2;j++) g[i]-=g[j]*pw[i-j*2];//最短border的长度 
	}
	int T=read();
	while(T--) work();
	return 0;
}
//g[i]:长度为i的无界单词的数量