计算机二进制数表示知识整理

结合CMU CSAPP课程和自己看的教材做的笔记。

数据类型大小

C的不同类型数据结构的大小。记住几个常用的，char是1个byte，short是2个，int是4个。

C里的位运算和逻辑运算不要搞混。比如&和&&，&是按位与，&&是且运算，位运算的结果仍是一个不同的数值，逻辑运算的结果不是0就是1。

左移和右移

位左移会把高位的移除，低位的补零。

右移有逻辑右移和算术右移。

逻辑右移和左移类似，低位移除，高位补0。算术右移低位移除，高位补的是符号位。

补码（符号数表示）

负数表示的思路是，最高位作为符号位，因为当最高位取为1的时候，正好可以把这串比特表示的数字范围拆成两半。比如我打算用4个比特表示数字，可以表示16个，1000的十进制是8，那么在1000以下的和1000以上的各能表示8个数字，就可以分别表示正数和负数了。

如下，16位表示的无符号数和有符号数的范围。最大的负数是最高位1其余0，最大的正数是最高位0其余1，所以在正数的最大值再加个1，溢出的数值就是最大的负数。

下面的公式表示了二进制位的无符号和有符号数的公式。公式就是二进制转十进制的加权求和，注意有符号数，符号位以下的位的权重和无符号数是一样的，只有符号位的权重不一样，带了负号。

C语言的里的宏ULONG_MAX，LONG_MAX，LONG_MIN可以获得本机器上符号数的范围。

常量无特殊声明的情况下默认是按有符号表示，如果后面加上U则是无符号，如0U，1234U。

类型转换

C语言中，显式类型转换就是用显式地写出来的转换操作，比如用了函数，或者(int)a这种形式。隐式类型转换就是没有显式地写出来，但为了执行命令系统自动做的转换，常发生在赋值和逻辑比较中。

比如int a和unsigned int b，令a=b就发生了隐式类型转换，b会被转换成有符号类型，再赋给a，或者执行a

有符号类型和无符号类型混用，无特殊声明的情况下，总是有符号会被转换成无符号。例如，假如-1和0U做比较，结果是-1大于0U，因为-1的位级表示是全1，对应的无符号数就最大的正数。所以，当无符号数和有符号数混用时，都是正数没有关系，要小心有符号数是负数的情况。

老师补充了编程中典型的例子。下面是个死循环，因为i是无符号的，所以永远会是正数。位级的解释就是i最后减小到0U,再减去1后的-1是全1，对应的无符号数就是最大正数。

unsigned i;
for(i=n-1;i>=0;i--){
    func(a[i]);    //do anything
}

再来个坑。假如刚开始把i声明成有符号了，但是循环条件这么写：

int i;
for(i=n-1;i-sizeof(char)>=0;i--){
    func(a[i]);    //do anything
}

后果也是死循环。因为sizeof返回的是无符号数，i和它做运算的结果始终还是无符号数。所以要格外注意隐式转换。

拓展和截断

从k位的数字拓展到k+N位的数字，保持数值大小不变，只要对符号位拓展就行了。可以自己用之前的加权求和公式计算一下，实际上拓展出的N位符号位，和只有1位的结果正好是一样的。

因此，C对短类型转长类型，比如short转int，做的事情就在前面拓展符号位（准确地说有符号数才有符号位，意思知道了就行）。

而从长位到短位的数据转换，如uint转ushort，会把高位的数据直接截断，在数值上的结果就是做了一次对高位代表的权重的取余。

举个例子，考虑无符号数，11011是16+8+0+2+1=27，截掉最高位1，得到1011，1011=8+0+2+1=11，11就是27mod16。

而对于有符号数，截断的过程中负数可能会变正，正数可能会负，要格外注意，如int转short。

整数加减法，溢出

计算两个无符号数相加，像十进制那样做进位加法就可以，但是可能会存在最高位有进位的情况，也就是说，两个N位的数字相加，最终结果有时需要N+1位保存，但是容量只有N位，机器的做法是舍去多出来的一位，只保留N位，这就引出了溢出问题。

假设有4个bit表示无符号整数，能表示的范围是0到15，如果计算8+12，理论上结果是20，但实际结果是4，发生了溢出，溢出的规律是：理论结果mod/舍去位的权重，即4=20mod16。

对于有符号整数的情形，假如也用4个bit表示，能表示的范围是-8到+7，如果计算7+1，理论结果是8，实际结果是0111+0001=1000，这是最大的负数，即-8，发生了正溢出。如果计算(-8)+(-1)，理论结果是-9，实际结果是1000+1111=0111，这是最大的正数，即7，发生了负溢出。不难发现溢出的规律是，从相反的最大值方向再重新轮次，刚好发生正溢出时会变成最大的负数，反之一样。

乘除的结果是类似的，发生溢出后的实际结果也是相当于做了模操作。

总结一下，发生溢出时做的操作就是高位截断，所以如果计算溢出后的实际结果的值，只要先计算出它的理论结果（二进制表示），然后根据它的数据类型的容量位数去截断高位，保留下来的就是实际结果。

幂

数据左移k位就相当于乘以2的k次幂，这是编程中常见的操作。如0011=3，左移1位就是0110，正好是6，再左移一位就是1100=12。处理2的k次幂乘积运算时，编译器就会将其优化为左移运算。

如果是做2的k次幂的除法，也只要右移即可，如果无法整除，会向下取整。注意对于有符号数，是算术右移，但是自己计算一下实际结果不是向下取整，是向上取整了，所以系统的做法是先对被除数加一个偏移量1，然后再做除法，这样最终的结果也是向下取整形式的，保持了统一。

相反数

想得到一个有符号数x的相反数-x，只要对其取反再+1。其实就是补码的一种快速计算方法。

小端&大端

指的是字节存储顺序，有小端模式和大端模式，目前绝大多数机器使用小端模式，如x86的机器，ARM处理器。

假设有个4字节数0x01234567，直观上看，我们认为这个数字是从左到右的，也就是说左边是数据的低位，右边是数据的高位，存储时内存地址从低到高也对应数据的从左到右。大端序就是这么存储，但是小端序反了过来，右边的数字会被存储到地址的低位，即67存在最低位，01存在最高位。

浮点数

浮点数的表示方法借鉴了科学计数法的思想，科学计数法是如下的形式：

只需要正负号，小数和指数三个部分就可以表示一个十进制数。同理，二进制数也可以表示成：

S决定正负号，称为符号位，F决定小数部分，称为“尾数”，E决定指数部分，称为“阶码”，或者指数。

假如用32位的二进制串表示，可以分配如下的格式：

单精度浮点数，阶码有8位。

十进制浮点数转二进制表示的公式，尾数不难理解，关键是理解指数部分的“偏移量”的概念。

其实想对指数部分编码，当然可以沿用补码的形式，假设指数是-1，就用1111 1111表示，-128就用1000 0000表示，+1就用0000 0001表示，+127就用0111 1111表示。只不过这样干的话，比较两个浮点数的大小时不够直观，对于两个规格化的浮点数，符号相同时，指数大的那个会大一个量级以上，单从数值上看，1000 0000是比0000 0001要大的，但转补码后，实际上前者比后者小。另一方面，纯0，无穷大等，非常非常接近0的小数等特殊的数字，怎么表示出来？

于是IEEE想的办法就是改变一下映射关系。我们希望用一种新的编码方式表示指数部分，叫“阶码”，使得对于指数，原来是正的a>b，转二进制后仍是a>b，负的c>d，转二进制后仍是c>d，且a>b>c>d，说白了，像无符号整数那样不改变递增关系。因此，阶码是不像补码那样有个符号位的，它是这么表示的：

1000 0000用来表示+1，向上递增就是正整数，以下的部分就是负整数。这样正好把表示范围拆成两半。观察这个二进制表示，和+1原本的补码0000 0001相差多少？相差127（0111 1111），即0000 0001 + 0111 1111 = 1000 0000。就是说——

阶码 = 补码 + 127

一旦建立这个新的映射关系，从负到正的大小关系就可以表示成类似无符号数的形式了。那么，计算一下，-1的阶码是1111 1111（补码） + 0111 1111（偏移量）= 0111 1110，0的阶码是紧随以后的0111 1111。那么全0用来表示什么了？

全0拿去编码特殊数字了，即浮点数纯0和非规格化数。当阶码为0000 0000，尾数也为0时，表示浮点数0，尾数不为0时，表示非规格化数。

另外，全1也拿去编码特殊数字了，即无穷大。当阶码为1111 1111，符号位为正时，就表示正无穷，符号位为负时，就表示负无穷。

所以阶码的编码方式就是：

• 特殊数字：0000 0000（0或非规格化数），1111 1111（无穷大）
• 负指数：0000 0001 ~ 0111 1110 (表示-126~-1)
• 指数为0：0111 1111
• 正指数：1000 0000 ~ 1111 1110 (表示+1~+127)

以上都是单精度的例子，对于双精度也一样。

双精度的阶码长度为11，+1的阶码表示当然仍是最高位为1，即100 0000 0000，和原本的补码表示000 0000 0001（也拓展到11位），相差的偏移就是011 1111 1111，即1023。可以看出来了，如果阶码有k位，偏移量就是2^(k-1)-1。