本专栏包含信息论与编码的核心知识，按知识点组织，可作为教学或学习的参考。markdown版本已归档至【Github仓库：https://github.com/timerring/information-theory 】或者公众号【AIShareLab】回复 信息论 获取。
BCH码-循环码
特点: 它的生成多项式 g(x) 与最小码距之间有密切 的关系, 可以根据所要求的纠错能力 t , 很容易地构 造出 BCH码。
如果循环码的生成多项式具有如下形式:
$$ g(x)=\mathrm{LCM}\left[m_{1}(x), m_{2}(x), \ldots, m_{2 t-1}(x)\right] $$
其中 t 为纠错个数, $m_{i}(x) $ 既约 (素) 多项式, $\mathrm{LCM}$ 表示取最小公倍数, 则由此生成的循环码为 $\mathbf{B C H}$ 码。码距 $\boldsymbol{d} \geq 2 \boldsymbol{t}+\mathbf{1}$ 。每个码字能纠 $\mathrm{t}$ 个随机独立差错。
若 $\mathbf{B C H}$ 码的码长 $n=2^{m}-1$ , 其中 $m \geq 3$, $t<\frac{m}{2}$, $n-k \leq m t$ , 则为本原 $\mathbf{B C H}$ 码;
若 $\mathbf{B C H}$ 码的码长是 $n=2^{m}-1$ 的因子, 则为非本原 $\mathbf{B C H}$ 码。
相关知识:
本原多项式的定义: 一个 n 次的多项式 f(x)
(1) f(x) 为既约多项式 (不可因式分解) -GF（2）;
(2) f(x) 是 $\left(x^{p+1}\right)$ 因子, $ p^{2}=2^{n}-1$
(3) f(x) 不是 $ \left(x^{q+1}\right)$ 的因子, $ p>q$
$\mathrm{BCH}$ 码的编码: 生成多项式查表。
$\mathrm{BCH}$ 码的译码:
$\mathbf{B C H}$ 的译码主要采用彼得森译码, 思路如下:
- 用生成多项式 g(x) 的各因式作为除式, 对接收到的码多项式求余, 得到 t 个余式, 称为部分伴随式;
- 用 t 个部分伴随式构造一个特定的译码多项式, 它以错误位置数为根;
- 求译码多项式的根, 得到错误位置;
- 纠正错误位置。
RS码
q 进制 $\mathrm{BCH}$ 码的一个特殊子类 (n=q-1) , 并且具有很强的纠错能力。
$\mathrm{RS}$ 码的参数：码长 n=q-1 , 监督位数目 r=2t , 其中 t 是 能够纠正的错码数目, 最小码距 $\boldsymbol{d}=\mathbf{2 t}+\mathbf{1}$ ; 其生成多项式为
$$ g(x)=(x+\alpha)\left(x+\alpha^{2}\right) \ldots\left(x+\alpha^{2 t}\right) $$
式中, $\alpha^{i}$ 为伽罗华域 $\mathbf{G F}\left(\alpha^{m}\right)$ 中的一个元素。
RS码的主要优点:
- 它是多进制纠错编码，所以特别适合用于多进制调制的场合;
- 它能够纠正t个q位二进制错码，即能够纠正不超过q个连续的二进制错码，所以适合在衰落信道中纠正突发性错码。
总结
- 循环码基本概念;
- 循环码的生成多项式，以及用该多项式编译码
- 由生成多项式构造系统型生成矩阵和监督矩阵
- 循环码的编译码电路;
- BCH、RS码。
参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.