2.1 定义

以下定义是相当标准的。由于在数学，计算机科学和统计学的各种应用中，诸如关系之类的单词使用的方式有所不同，因此我们尝试尽可能地给它们一个通用的符号和结构。这意味着我们的符号可能与某些专业领域中使用的符号不同。选择抽象级别和细节级别并不容易。当抽象不符合我们的目的时，我们已尝试避免抽象，并且仅在为了清楚起见需要它们时才包含这些术语。

2.1.1 Sets 集

集合是唯一对象的集合，我们用大写字母表示（例如）。集合中的对象称为集合中的元素或成员。我们用小写字母（例如）表示元素，并用表示状态“是的元素”。我们用花括号（例如）分隔集合中的元素。我们将表示为的集合的补码定义为所有不在中的元素的集合。

空集（）是一个空集或没有元素的集。我们用表示实数集，用表示整数，用表示自然数（大于零的整数）。我们用表示法表示“ 是元素的集合，每个是一个成员如果集合的每个元素也是集合的元素，则是的子集，表示为如果是的子集，但中至少有一个元素不在中，则是的适当子集，表示为。

如果将的每个元素与的元素配对，从而的每个元素恰好出现一次，而的每个元素恰好出现一次，则在配对中，我们说和是等价的，表示为。如果集合等于整数集合的子集，我们说集合是可数的。如果为或等效于集合，其中为正整数，则我们说为有限集。有限集的基数为，即元素的数量。索引集是形式的集合。

包是允许重复元素的集合。我们用方括号对袋子中的元素进行定界，例如。列表是有序的包。定义列表的另一种方法是说它是一个索引集。定义列表的另一种方法是说它是零个或多个元素的完全有序的序列。

两个实数和确定中的区间。两种类型的区间是:

我们也可能在左边关闭并在右边打开，或者在左边打开并在右边关闭。

用表示的两个集合A和B的交集是集合
如果且,则。如果两个集合不相交两个集合A和B的并集（用表示）是集合

举个例子，如果且,则。

由表示的两个集和的不相交并集产生了一个集合，其成员是带标签的元素。带标签的元素是x:$形式之一，其中是元素，而符号$是标记。标签有时称为标识符或颜色。它可以是字符串，数字值或其他信息。使用不相交的并集，我们用包含该元素的集合的名称标记一个元素。例如，如果并且，则。标签只是标签，它们不参与数值计算。

集合的一个分区是其并集为的非空、成对不相交子集的集合。这些子集称为块。如果的每个块都包含在的某个块中，则一个分区被称为细化另一个分区。在关于聚类和决策树的文献中，连续细化（细化细化…）被称为递归分割（e.g.，breiman et al.，1984）。

集合和的（笛卡尔）乘积（用表示）是集合

对于我们的例子，。

我们称有序对或元组。尽管此表示法与开放区间的表示法相同，但从上下文中应清楚其含义。我们称为一个n元组。我们将n元组中的项称为条目。 n元组的度为n，我们用表示实数对的乘积集。

2.1.2 关系

设和。和之间的二进制关系是的子集。给定中的元组，如果我们说通过相关。一个例子是实数集合与本身给出的“小于或等于”关系通过。另一个例子是集合之间的性别名称关系
$\begin{align} A &= \{$

的某些成员可能不通过与的任何成员相关，的某些成员可能不通过与的任何成员相关（除非我们假定某人可能被称为匹兹堡！）。

上的n元关系R是的子集。一些作者通过标记来表示这种关系，例如:
当

2.1.3 函数

假设我们为集合的每个元素分配了集合的唯一元素。这些分配的集合是一个函数，也称为从到的映射。表示将的元素分配给的元素，我们写做

我们称为的域，为的值域。元素是中分配给的唯一元素。我们将这些元素的集合称为下或范围内的的图像。描述函数的另一种方法（无需明确命名）是使用符号。在这种用法中，“”的意思是“将分配给的函数”。

像函数一样的对象可以看作是黑盒子，可以接收输入并返回输出。对于每个输入，只有一个可能的输出。该输出不必是单个数字或字符串。输出是值域元素采用的任何形式。许多不同的输入可能会产生相同的输出，但是对于给定的输入，我们可能不只有一个带标签的输出。这个黑匣子定义包括函数以及函数（二叉树）= 其父子关系列表。

2.1.4 图

对于每个函数，都有一个子集，

我们称之为的图。函数的图形，其中属于实数集，是所有元组的集合，它是实数集与其自身交叉的子集。函数（二叉树）= 其父子关系列表的图是由（二叉树，其父子关系列表）定义的所有元组的集合，它是相交的子集所有二叉树的集合与所有父子关系列表的集合。函数图唯一地确定函数，反之亦然。例如，如果是的图，则。

2.1.5 组成

合成是由功能链形成的功能。设和是的值域是（即,）的域的子集的函数。由规则:

所定义的函数是和的组成或复合函数。

例如，如果和是字符串函数，并且的功能规则是<大写最左字母>，而的规则是<大写字母数>，则将定义以下组成，因为所有输入都是集合的成员字符串和的任何输出是的合法输入。

g(f("wow")) = 1
g(f("Wow")) = 1
g(f("123")) = 0
g(f("")) = 0

组成范围是的范围，即非负整数的集合。同样，空字符串是字符串集的成员。如果我们以C之类的语言实现这些功能，则必须确保正确处理null值。

2.1.6 转换

转换是将集合映射到自身的函数。所有转换都是函数，但并非所有函数都是转换。因为转换将集合映射到自身，所以转换的组成就是转换。

例如，如果和是文本字符串转换，并且的规则是<大写最左字母>，而的规则是<附加感叹号>，则以下组合都是转换。

g(f("wow")) = "Wow!"
f(f("wow")) = "Wow"
g(g("wow")) = "wow!!"
f(g(f("wow"))) = "Wow!"
g(f(g("wow"))) = "Wow!!"
f(g("")) = "!"

2.1.7 代数

代数是

集合
集合上的算子
这些算子组合的规则的集合。

该定义包含的代数比基于实数的普通算术的经典代数更通用，更受限或更抽象。

运算符概括了转换的概念。集合上的运算符是在集合上定义的函数，该函数在中返回一个值。运算符为一元或一元的（具有一个参数，即在上定义，因此有一个转换），二进制或二元函数（具有两个参数，即在上定义）或n元（具有很多参数，即在与自身的n倍积上定义）。代数规则指定运算符的组成方式。一个示例是由定义的集合上的运算符“ ”。

2.1.8 变量

变量是映射，我们将其视为三元组：
当
定义域是对象的集合，值域是值的集合，函数将中的每一个元素分配给中对应的值。

下的图像包含的值。我们将可能的值表示为，其中。我们将对象的值表示为，其中。如果是一个间隔，则变量是连续的。如果在和整数的有限子集之间存在等价变量，则该变量为类别变量。

变量可以是多维的。是由个一维变量组成的维变量：

元素是的维值。

2.1.9 变量集

我们称这样的三元组：
为一个变量集。这个词代表变量集。

varset反转用于变量的映射。也就是说，定义域是一组值，值域是所有可能的对象包的集合，函数为的每个元素分配中的一个元素。

为了简化变量集上图形代数运算的定义，我们将通常用于变量的映射进行了反转。为此，我们还将变量的对象集替换为varset的包集。我们在值域中使用包，因为一个值可能多次映射到一个对象（如重复测量）。

2.1.10 框架

框架是一组元组，范围覆盖维变量集域中的所有可能值。因此框架依赖于代数表达式。框架作为计算美学的参考结构。通俗的作家常把框架称为用轴划分的矩形界限，类似于画框。这种流行的观念有几个问题。首先，轴是坐标系的参考线；它们不是空间的边界。第二，框架不仅仅是位置的；例如，我们可以用一个生成颜色空间的代数表达式构造一个颜色框架。第三，框架不是矩形；它们是元组的集合。