概率 随机变量 条件概率 贝叶斯定理

概率和随机变量

随机变量x是一个变化的量，它的变化是由于偶然/随机性引起的。可以将随机变量看成一个函数，它由实验结果赋值。例如：在抛硬币的实验中把正面朝上定义为x1=0,反面朝上为x2=1。
一般用小写字母表示随机变量，如$\text{x}$。一旦试验完成，它的取值就用斜体的$x$表示。
如果一个随机变量的值是离散的，就用一组概率来描述它，如果它的值位于实轴（不可数无限集）的一个区间内，就用概率密度函数（PDF）来表示。

1. 概率

1.1 相对频率定义

时间A的概率P(A)是极限
$P(A)={\lim }_{n->\infty }\frac{n_A}{n}$

1.2 公理化定义

● 公理一：一个事件的概率是非负数
$$P(A)\ge 0$$
● 公理二：必然事件的概率是1
对于必然事件C，$$P(C)=1$$.
● 公理三：两个独立事件的和事件的概率等于两个独立事件的概率之和
如果A，B是互斥事件，则
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

2. 离散随机变量

离散随机变量x可以去有限集或可数无限集$\mathcal{X}$中的任意值。集合$\mathcal{X}$也称为样本空间或状态空间。事件“$\text{x}=x\in \mathcal{X}$”的概率表示为
$$P(\text{x}=x)\text{或简单的表示为}P(x).$$
函数$P$称为概率质量函数(PMF) 。

2.1 联合概率和条件概率

两个事件A和B的联合概率为两个事件同时发生的概率，记为$P(A，B)$。现在考虑分别在两个样本空间$\mathcal{X}=x_1,...,x_{n_x},\mathcal{Y}=y_1,...,y_{n_y}$中的随机变量$\text{x},\text{y}$。

• 求和法则
  $$P(x)=\sum _{y\in \mathcal{Y}}P(x,y)$$

• 条件概率
  $$P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)},其中要求P(B)\ne 0$$.
  从相对频率的角度能很好的理解其中的实际意义。设$n_{AB}$为两个事件同时发生的次数，$n_B$为n次实验中事件B发生的次数，则有：
  $$P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n}\frac{n}{n_B}=\frac{n_{AB}}{n_B}$$
  也就是在给定一个事件B的情况下，事件A的条件概率是A事件相对于B事件发生次数的相对频率。

• 乘积法则
  从随机变量的角度看，条件概率的定义也称为概率的乘积法则
  $$P(x,y)=P(x|y)P(y)$$
  $P(x),P(y)$称为边际概率。

• 统计独立
  两个随机变量称为统计独立的，当且仅当它们的联合概率可以写成各自边际概率的乘积。
  $$P(x,y)=P(x)P(y)$$

2.2 贝叶斯定理

由概率的乘积法则和联合概率的对称性$P(x,y)=P(y,x)$可以直接得到：
$$P(y|x)=\frac{P(x|y)P(y)}{P(x)}：贝叶斯定理$$
其中边际概率$P(x)$可以写成：
$$P(x)=\sum _{y\in \mathcal{Y}}P(x,y)=\sum _{y\in \mathcal{Y}}P(x|y)P(y)$$

3. 连续随机变量

定义随机变量$\text{x}$的累计分布函数（CDF）为：
$$F_{\text{x}}(x)=P(\text{x}\le x)$$
这里的$F_{\text{x}}$是一个单调递增的函数，如果$F_{\text{x}}$连续，则称随机变量$\text{x}$是连续型随机变量。假设$F_{\text{x}}$也是可微的，则定义$\text{x}$的概率密度函数（PDF）
$$p_{\text{x}}(x)=\frac{d{F}_{\text{x}}(x)}{dx}$$
这样可以得到：
$$P(x_1<\text{x}\le x2)={\int }_{x1}^{x2}{p}_{\text{x}}(x)dx$$
同时有：
$$F_{\text{x}}(x)={\int }_{-\infty }^x{p}_{\text{x}}(z)dz$$
从微积分的角度来看，PDF可以解释为：
$$\frac{\Delta P(x<\text{x}\le x+\Delta x)}{\Delta x}\approx p_{\text{x}}(x)$$
“一段小区间中的概率除以这段区间的长度”，这就是一种“密度”。（类似于质量除以体积）。
注意当区间趋近于0时，$p_{\text{x}}(x)\Delta x$也趋近于0，所以，连续随机变量任意取单个值的概率为0.