高等代数复习（二）

本篇复习内容有
求解标准正交基
证明标准正交基
证明正交变换
利用共轭变换证明
求解与给定矩阵的相似矩阵--对角矩阵

1.求标准正交基
在求标准正交基时，通常要先正交化，然后单位化，即可求出标准正交基。


2.证明标准正交基
标准正交基=单位向量组+正交向量组+基
例题：

解法一

解法二
由定理，判断向量组是否为一组基和过渡矩阵是否为正交矩阵即可。


3.证明正交变换
要证明A为正交变换，即证A为线性变换，A为正交变换。（注意是两个条件）
一般的证明思路为下述两个方向：

让我们看看经典的证明例题。
例1


例2


例3

首先分析题目：

接下来，我们一步一步证明：



4.利用共轭变换做证明

例1


例2

5.求方阵对应的对角阵$\Lambda$以及可逆矩阵P
首先是，最理想的情况，即特征向量的个数等于矩阵的阶数，这是步骤为：

例题1

过程如下：



例题2

步骤如下：

注意！上面的过程是我自己一遍写的，可以看出来，其中的修改之处，都是对过答案之后！好几处都是到了最后的时候化简矩阵数字的正负号给移错，要么对于x1x2x3建立的方程前面的系数抄下来弄错！一定要注意啊！！！