拉普拉斯平滑（Laplacian smoothing）

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概念

• 零概率问题：在计算事件的概率时，如果某个事件在观察样本库（训练集）中没有出现过，会导致该事件的概率结果是  000 。这是不合理的，不能因为一个事件没有观察到，就被认为该事件一定不可能发生（即该事件的概率为 000 ）。

拉普拉斯平滑(Laplacian smoothing) 是为了解决零概率的问题。

• 法国数学家 拉普拉斯 最早提出用 加 111  的方法，估计没有出现过的现象的概率。
• 理论假设：假定训练样本很大时，每个分量 xxx 的计数加  111  造成的估计概率变化可以忽略不计，但可以方便有效的避免零概率问题

具体公式　　对于一个随机变量  zz\mathrm{z} , 它的取值范围是   {1,2,3…,k}{1,2,3…,k}{1,2,3 \ldots, \mathrm{k}} , 对于   mm\mathrm{m}   次试验后的观测 结果  {z(1),z(2),z(3),…,z(m)}{z(1),z(2),z(3),…,z(m)}  \left{\mathrm{z}^{(1)}, \mathrm{z}^{(2)}, \mathrm{z}^{(3)}, \ldots, \mathrm{z}^{(\mathrm{m})}\right} , 极大似然估计按照下式计算:

φj=∑mi=1I{z(i)=j}mφj=∑i=1mI{z(i)=j}m\varphi_{j}=\frac{\sum_{i=1}^{m} I\left{z^{(i)}=j\right}}{m}

使用 Laplace 平滑后, 计算公式变为:

φj=∑mi=1I{z(i)=j}+1m+kφj=∑i=1mI{z(i)=j}+1m+k\varphi_{j}=\frac{\sum_{i=1}^{m} I\left{z^{(i)}=j\right}+1}{m+\mathrm{k}}

即在分母上加上取值范围的大小, 在分子加  111 。　　总结: 分子加一，分母加  KKK，KKK  代表类别数目。

应用场景举例　　假设在文本分类中，有  333  个类：C1C1C_1、C2C2C_2、C3C3C_3　　在指定的训练样本中，某个词语  K1K1K_1 ，在各个类中观测计数分别为  000，990990990，101010。　　则对应   K1K1K_1  的概率为 0，0.99，0.010，0.99，0.010，0.99，0.01。

显然  C1C1C_1  类中概率为  000，不符合实际。

于是对这三个量使用拉普拉斯平滑的计算方法如下：　　1/1003=0.0011/1003=0.0011/1003 = 0.001，991/1003=0.988991/1003=0.988991/1003=0.988，11/1003=0.01111/1003=0.01111/1003=0.011　　在实际的使用中也经常使用加 λλλ（0≤λ≤10≤λ≤10≤λ≤1）来代替简单加  111。如果对  NNN个计数都加上  λλλ，这时分母也要记得加上 N∗λN∗λN*λ。

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