LeetCode 1915. Number of Wonderful Substrings【异或前缀和,位运算,哈希表,字符串】中等

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

如果某个字符串中 至多一个 字母出现 奇数 次，则称其为 最美 字符串。

• 例如，"ccjjc" 和 "abab" 都是最美字符串，但 "ab" 不是。

给你一个字符串 word ，该字符串由前十个小写英文字母组成（'a' 到 'j'）。请你返回 word 中 最美非空子字符串 的数目。如果同样的子字符串在 word 中出现多次，那么应当对 每次出现 分别计数。

子字符串 是字符串中的一个连续字符序列。

示例 1：

输入：word = "aba"
输出：4

解释：4 个最美子字符串如下所示：

• “aba” -> “a”
• “aba” -> “b”
• “aba” -> “a”
• “aba” -> “aba”

示例 2：

输入：word = "aabb"
输出：9

解释： 9 个最美子字符串如下所示：

• “aabb” -> “a”
• “aabb” -> “aa”
• “aabb” -> “aab”
• “aabb” -> “aabb”
• “aabb” -> “a”
• “aabb” -> “abb”
• “aabb” -> “b”
• “aabb” -> “bb”
• “aabb” -> “b”

示例 3：

输入：word = "he"
输出：2

解释： 2 个最美子字符串如下所示：

• “he” -> “h”
• “he” -> “e”

提示：

• 1 <= word.length <= 10^5
• word 由从 'a' 到 'j' 的小写英文字母组成

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与本题相似的题目（前缀和+异或+字符串）如下：

• 1177. 构建回文串检测
• 1371. 每个元音包含偶数次的最长子字符串
• 1542. 找出最长的超赞子字符串

还有些使用前缀和的题目：

• 560. 和为 K 的子数组
• 930. 和相同的二元子数组
• 974. 和可被 K 整除的子数组
• 1590. 使数组和能被 P 整除

解法 奇偶性

由于我们只关心每个字母出现次数的奇偶性，因此可以将「字母出现次数」转换成「字母出现次数的奇偶性」，这可以用一个长为 $10$ 的二进制串表示，二进制串的第 $i$ 位为 $0$ 表示第 $i$ 个小写字母出现了偶数次，为 $1$ 表示第 $i$ 个小写字母出现了奇数次。

考虑字母出现次数的前缀和，由于只考虑奇偶性，我们也可以将其视作一个长为 $10$ 的二进制串。此时计算前缀和由加法运算改为异或运算，这是因为异或运算的本质是在模 $2$ 剩余系中进行加法运算，刚好对应奇偶性的变化。

若有两个不同下标的前缀和相同，则这两个前缀和的异或结果为 $0$ ，意味着这段子串的各个字母的个数均为偶数，符合题目要求。因此可在求前缀和的同时，用一个长为 $2^{10}=1024$ 的 $cnt$ 数组，统计每个前缀和二进制串出现的次数，从而得到相同前缀和的对数，即各个字母的个数均为偶数的子串个数。

题目还允许有一个字母出现奇数次，这需要我们寻找两个前缀和，其异或结果的二进制数中恰好有一个 $1$ ，意味着这段子串的各个字母的个数仅有一个为奇数。对此可以枚举当前前缀和的每个比特，将其反转，然后去 $cnt$ 中查找该前缀和的出现次数。将所有统计到的次数累加即为答案。

class Solution {
public:
    long long wonderfulSubstrings(string word) {
        int n = word.size(), xor_sum = 0;
        long long ans = 0;
        int cnt[1024] = {0};
        cnt[0] = 1; // 初始前缀和为0,需将其计入出现次数
        for (char c : word) {
            xor_sum ^= (1 << (c - 'a')); // 计算当前前缀和
            ans += cnt[xor_sum]; // 所有字母均出现偶数次
            for (int j = 0; j <= 9; ++j) // 枚举其中一个字母出现奇数次
                ans += cnt[xor_sum ^ (1 << j)]; // 反转该字母的出现次数的奇偶性
            ++cnt[xor_sum]; // 更新前缀和出现次数
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(10\cdot n)$ ，$n$ 为字符串 $word$ 的长度。
• 空间复杂度：$O(S)$ ，$S=1024$ 为十个小写字母的奇偶性映射为二进制串的状态数。