信息竞赛笔记(1)––埃氏筛,欧拉筛

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埃氏筛法

简介

分析

模板

欧拉筛法

优化

模板

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埃氏筛法

简介

        埃氏筛法,全称为埃拉托斯特尼筛法

        埃氏筛法的基本思想 ：从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。因为随便一个合数的约数都不会大于自己，且必然存在有约数是素数的情况，那么我对规定范围内的数进行从小到大的判断，正好是能“划掉大的合数”且不会出现遗漏。

分析

        考虑这样一件事情：对于任意一个大于n的正整数,那么它的x倍就是合数(x-1)。利用这个结论，我们可以避免很多次不必要的检测。

如果我们从小到大考虑每个数,然后同时把当前这个数的所有(比自己大的)倍数记为合数,那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

模板

        尽然我们已经知道了埃氏筛法大题的运算过程和思路,我们就可以打出下列的模板

void E_prime(){
	cin>>n>>m;
	a[1]=1;
	for(i=n;i<=m;i++){
		if(a[i]==1){
			continue;
		}else{
			for(j=2*i;j<=m;j+=i){
			    a[j]=1;
			}
		}
	}
	for(i=n;i<=m;i++){
		if(a[i]==0){
		    cout<

埃氏筛法的时间复杂度为

欧拉筛法

优化

        埃氏筛法仍有优化空间，它会将一个合数重复多次标记。有没有什么办法省掉无意义的步骤呢？答案是肯定的。

        如果能让每个合数都只被标记一次，那么时间复杂度就可以降到了。接下来就是我们的欧拉筛法.欧拉筛的思路就是要保证每一个数都被他的最小质因子筛去.

模板

void Euler_prime(){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(isp[i]==0){
            pr[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++){
            isp[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0){
                break;
            }
        }
    }
    return;
}

 上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法（欧拉筛法）。