CUGB20级算法课期末考试 (ACM训练) 整理

1.N只老虎爱跳舞

• 题意分析：n个老虎，有m个关系，问有多少个老虎能确定排名？
• 解法：对每只老虎都分别向前向后搜索并返回数量，如果数量为n - 1，说明这个老虎相对于其他所有老虎的相等关系都知道，也就知道了它的排名了
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  const int MAXN = 101;
  vector in[MAXN];
  vector out[MAXN];
  
  int fin(int i)
  {
      bool use[MAXN] = {0};
      int sum = 0;
      queue qu;
      qu.push(i);
      while(!qu.empty())
      {
          int x = qu.front();qu.pop();
          int end = in[x].size();
          for(int j = 0;j < end;j++)
              if(use[in[x][j]] == 0)
              {
                  use[in[x][j]] = 1;
                  qu.push(in[x][j]);
                  sum++;
              }
      }
      return sum;
  }
  
  int fout(int i)
  {
      bool use[MAXN] = {0};
      int sum = 0;
      queue qu;
      qu.push(i);
      while(!qu.empty())
      {
          int x = qu.front();qu.pop();
          int end = out[x].size();
          for(int j = 0;j < end;j++)
              if(use[out[x][j]] == 0)
              {
                  use[out[x][j]] = 1;
                  qu.push(out[x][j]);
                  sum++;
              }
      }
      return sum;
  }
  
  
  int main()
  {
      int n,m;cin >> n >> m;
      for(int i = 1;i <= m;i++)
      {
          int x,y;cin >> x >> y;
          in[x].push_back(y);
          out[y].push_back(x);
      }
      int sum = 0;
      for(int i = 1;i <= n;i++)
      {
          if(fin(i) + fout(i) == n - 1)
              sum++;
      }
      cout << sum;
  }

2.掩体计划

• 思路：将所有节点相连的最小花费即最小生成树问题（但在我写的时候我还不知道，紧急恶补了一下）
• 最小生成树的解法一般有两种：Kruskal和Prim
• （粗略地说）Kruskal算法为选最短的边，如果这两个点已经在一个集合里的话就舍弃，否则整合这两个集合并取这个边
• （粗略地说）Prim算法，随机挑选一个初始点作为已连接的点的集合，找最短的端点一个在集合内，一个在外的边，取这个边并且将那个在外的端点加入集合
• Kruskal代码：

  #include
  using namespace std;
  const int MAXN = 5e3 + 10,MAXM = 1e4 + 10;
  
  int n;
  
  int ptop = 1;
  struct link{
  	int x,y,v;
  }li[MAXM];
  void add(int i,int j,int v)
  {
  	li[ptop++] = {i,j,v};
  }
  
  bool cmp(link a,link b)
  {
  	return a.v < b.v;
  }
  
  int dad[MAXN];
  void pre()
  {
  	for(int i = 1;i <= n;i++)
  	dad[i] = i;
  }
  int find(int x)
  {
  	if(x == dad[x])
  	return x;
  	else
  	return dad[x] = find(dad[x]);
  }
  
  int main()
  {
  	int m;cin >> n >> m;
  	pre();
  	for(int i = 1;i <= m;i++)
  	{
  		int x,y,w;cin >> x >> y >> w;
  		add(x,y,w);
  	}
  	sort(li + 1,li + m + 1,cmp);
  	int sum = 0;
  	for(int i = 1;i <= m;i++)
  	{
  		int x = li[i].x,y = li[i].y,w = li[i].v;
  		if(find(x) != find(y))
  		{
  			dad[find(y)] = find(x);
  			sum += w;
  		}
  	}
  	int t = 1;
  	while(find(t) == find(t + 1))
  	{
  		t++;
  		if(t == n - 1)
  		{
  			cout << sum;
  			return 0;
  		}
  	}
  	cout << "Ridiculous! We can not combine city like a LOGO!!!";
  }

3.你为什么不直接打死他？

• 应该是这里面最难的题了，虽然将思路写出来就感觉不怎么难了
• 思路：龙有三个状态，2血，1血，0血，用三进制来表示多个龙的状态，即状压dp，当然也可以加上滚动数组。
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  int n,all,sum,l,be;
  double dp[60000][32];
  int pow3[11];
  int turn(int x)
  {
      int sum = 0;
      while(x != 0)
      {
          if(x % 3 != 0)
              sum++;
          x /= 3;
      }
      return sum;
  }
  
  void slove(int aim,int att,int sum)
  {
  	dp[aim][att + 1] += dp[aim][att] / (sum + 1.0);
  	int t = 0;
  	int aa = aim;
  	for(int i = 1;i <= n;i++)
  	{
  		if(aa % 3 != 0)
  		dp[aim - pow3[t]][att + 1] += dp[aim][att] / (sum + 1.0);
  		t++;
  		aa /= 3;
  	}
  }
  
  int main()
  {
      int m;cin >> n >> m;
      be = 0;
      pow3[0] = 1;
      for(int i = 1;i <= n;i++)
      {
          pow3[i] = pow3[i - 1] * 3;
      }
      for(int i = 1;i <= n;i++)
      {
          be *= 3;
          be += 2;
      }
      dp[be][0] = 1;
      for(int i = 0;i <= 3 * m;i++)
      {
          for(int j = 0;j <= be;j++)
          {
              int sum = turn(j);//剩下的人数
              slove(j,i,sum);
          }
      }
      cout << dp[0][3 * m];
  }

4.高维世界

• 暴力，没有一点感情（记得开long long）
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  long long a[5001][11];
  int main()
  {
      int n,k;cin >> n >> k;
      long long mi = -1;
      for(int i = 1;i <= n;i++)
      {
          for(int j = 1;j <= k;j++)
              cin >> a[i][j];
          for(int j = 1;j < i;j++)
          {
              long long sum = 0;
              for(int kk = 1;kk <= k;kk++)
                  sum += (a[i][kk] - a[j][kk]) * (a[i][kk] - a[j][kk]);
              if(sum < mi || mi == -1)
                  mi = sum;
          }
      }
      cout << mi;
  }

5.牛牛坤卖手镯

• 经典最大子序列dp[i] = max(dp[i - 1] + a[i],a[i])
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  long long a[5001][11];
  int main()
  {
      int n,k;cin >> n >> k;
      long long mi = -1;
      for(int i = 1;i <= n;i++)
      {
          for(int j = 1;j <= k;j++)
              cin >> a[i][j];
          for(int j = 1;j < i;j++)
          {
              long long sum = 0;
              for(int kk = 1;kk <= k;kk++)
                  sum += (a[i][kk] - a[j][kk]) * (a[i][kk] - a[j][kk]);
              if(sum < mi || mi == -1)
                  mi = sum;
          }
      }
      cout << mi;
  }

6.不废话了

• 数学题，看着很吓人
• 思路：首先 a & b <= min(a，b)，然后⌊(a + b) / 2⌋ >= min(a，b)，所以a & b == min(a，b) == ⌊(a + b) / 2⌋，根据后面的式子，假设a <= b，那么b <= a + 1，因为如果b >= a + 2，那么(a + b) / 2 > a，就不满足后式，然后又根据前式，a & b == a，说明a有的二进制位b都要有，如果b == a + 1，b又不进位，那么a只能是偶数。
• 这样一分，我们就让x / 2相等的作一堆来计算数量
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  const int MAXN = 1e5 + 10;
  long long a[MAXN];
  //a & b <= min(a,b)?
  //(a + b) / 2 >= min(a,b)?
  //a == b == c?
  //.^.
  //偶数与偶数加1为一组
  map mp;
  long long turn(long long x)
  {
      return x * (x - 1) / 2 * (x - 2) / 3;
  }
  int main()
  {
      int n,m;cin >> n >> m;
      long long sum = 0;
      for(int i = 1;i <= n;i++)
      {
          cin >> a[i];
          a[i] /= 2;
          mp[a[i]]++;
          if(mp[a[i]] >= 3)
              sum += turn(mp[a[i]]) - turn(mp[a[i]] - 1);
      }
      for(int i = 1;i <= m;i++)
      {
          int x,y;cin >> x >> y;
          y /= 2;
          if(mp[a[x]] >= 3)
              sum -= turn(mp[a[x]]) - turn(mp[a[x]] - 1);
          mp[a[x]]--;
          a[x] = y;
          if(++mp[y] >= 3)
              sum += turn(mp[y]) - turn(mp[y] - 1);
          cout << sum << endl;
      }
  }

7.阶梯计划

• 首先一看，将必须品取出后0/1背包找最高价值，但是容量范围过大，又一看价值的范围比较小，那么我们就反过来想，对体积进行0/1背包找出对应价值下的最大剩余容量，如果最大剩余容量大于等于0那么说明这个价值可取，再取价值的最大值
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  const int MAXN = 1e3 + 10,MAXV = 1e4 + 10;
  int www[MAXN],v[MAXN];
  int dp[MAXV];
  bool able[MAXV] = {0};
  int main()
  {
  	int w,n;cin >> w >> n;
  	int nn = 0;
  	for(int i = 1;i <= n;i++)
  	{
  		int ww,vv;cin >> ww >> vv;
  		if(vv == -1)
  		{
  			w -= ww;
  		}
  		else
  		{
  			www[++nn] = ww;
  			v[nn] = vv;
  		}
  	}
  	dp[0] = w;
  	able[0] = 1;
  	int mv = 0;
  	int mvv = 0;
  	for(int j = 1;j <= nn;j++)
  	{
  		mv += v[j];
  		for(int i = min(MAXV - 1,mv);i >= v[j];i--)
  		{
  			if(able[i - v[j]])
  				if(dp[i] <= dp[i - v[j]] - www[j])
  				{
  					dp[i] = dp[i - v[j]] - www[j];
  					able[i] = 1;
  					mvv = max(i,mvv);
  				}
  		}
  	}
  	if(mvv == 0)
  	cout << "failed!";
  	else
  	cout << mvv;
  }

8.修复磁盘

• 弹 弹 乐 ?
• 思路：分为4种可能，直接能到，向左弹后能到，向右弹后能到，不能到，思路好想但公式比较难写出
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  int main()
  {
      int t;cin >> t;
      for(int i = 1;i <= t;i++)
      {
          int n,x,y,d;cin >> n >> x >> y >> d;
          if(abs(x - y) % d == 0)
              cout << abs(x - y) / d << endl;
          else
          {
              long long mi = -1;
              if((y - 1) % d == 0)
              mi = (y - 1) / d + 1 + (x - 1) / d;
              if((n - y) % d == 0)
              if(mi > (n - y) / d + 1 + (n - x) / d || mi == -1)
              mi = (n - y) / d + 1 + (n - x) / d;
              cout << mi << endl;
          }
      }
  }

9.鱼饵桶

• 又是炉石
• 分为两个，总和最大和单独最大，单独最大肯定是挑最大的再加最多的BUFF
• 总和最大推一下公式就出来了（记得开long long）
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  int main()
  {
      long long n,m;cin >> n >> m;
      long long damage = 0,hp = 0,sumdamage = 0,sumhp = 0;
      for(int i = 1;i <= n;i++)
      {
          long long x,y;cin >> x >> y;
          if(x > damage)
              damage = x;
          if(y > hp)
              hp = y;
          sumdamage += x;
          sumhp += y;
      }
      long long ma = m * (1 + (n - 1) / 2) * (n - (n - 1) / 2);
      cout << sumdamage + ma << ' ' << sumhp + ma << ' ' << damage + n * m << ' ' << hp + n * m;
  }

10.口吃症

• 水
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  int main()
  {
      int n;cin >> n;
      int m;
      for(int i = 1;i <= 10;i++)
      {
          if((i + 1) * i / 2 == n)
              m = i;
      }
      int t = -1;
      string str;cin >> str;
      for(int i = 1;i <= m;i++)
      {
          t += i;
          cout << str[t];
      }
  }

11.等座位

• 也挺水的，记录区间位置再二分即可
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  const int MAXN = 1e5 + 10;
  int st[MAXN];
  int main()
  {
      int n,m;cin >> n >> m;
      for(int i = 1;i <= n;i++)
      {
          int x;cin >> x;
          st[i] = st[i - 1] + x;
      }
      for(int i = 1;i <= m;i++)
      {
          int x;cin >> x;
          int begin = 1,end = n;
          int ans = 1;
          while(begin <= end)
          {
              int mid = (begin + end) / 2;
              if(st[mid] >= x)
              {
                  ans = mid;
                  end = mid - 1;
              }
              else
                  begin = mid + 1;
          }
          cout << ans << endl;
      }
  }

12.玩游戏

• 最大公约数，辗转相除法，模拟，水
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  
  int gcd(int x,int y)
  {
      if(y == 0)
          return x;
      else if(x == 0)
          return y;
      return gcd(y,x % y);
  }
  
  int main()
  {
      int a,b,n;cin >> a >> b >> n;
      int type = 0;
      while(1)
      {
          if(gcd(a,n) <= n)
              n -= gcd(a,n);
          else
          {
              type = 1;
              break;
          }
          if(gcd(b,n) <= n)
              n -= gcd(b,n);
          else
          {
              type = 2;
              break;
          }
      }
      if(type == 1)
          cout << "xiao hua win!";
      else
          cout << "xiao peng win!";
  }

13.环球旅行

• 就暴力搜索
• 代码：

  #include
  using namespace std;
  //最小环，但是节点固定
  //搜索
  int n,num,be,mi;
  bool able[11];
  bool use[11];
  int l[11][11];
  void DFS(int x,int sum,int nn)
  {
      if(nn == num)
      {
          if(l[be][x] != 0)
              if(mi != -1)
                  mi = min(sum + l[be][x],mi);
              else
                  mi = sum + l[be][x];
      }
      else
      {
          for(int i = 1;i <= n;i++)
          if(able[i] && !use[i] && l[x][i] != 0)
          {
              use[i] = 1;
              DFS(i,sum + l[x][i],nn + 1);
              use[i] = 0;
          }
      }
  }
  void pre()
  {
      mi = -1;
      for(int i = 1;i <= n;i++)
          able[i] = use[i] = 0;
  }
  int main()
  {
      int m;cin >> n >> m;
      for(int i = 1;i <= m;i++)//录入
      {
          int x,y,t;cin >> x >> y >> t;
          if(l[x][y] == 0)
              l[x][y] = l[y][x] = t;
          else
              l[x][y] = l[y][x] = min(l[y][x],t);
      }
      int q;cin >> q;
      for(int i = 1;i <= q;i++)
      {
          pre();//初始化
          cin >> num;
          for(int j = 1;j <= num;j++)
          {
              cin >> be;able[be] = 1;//标记可以走
          }
          use[be] = 1;//标记起点
          DFS(be,0,1);
          cout << mi << endl;
      }
  }