详解浮点数

目录

1.什么是浮点数

2.举个例子

2.1.十进制转二进制

2.2.规范尾数位

2.3.计算指数位

2.4.拼接结果

3.精度丢失

4.JAVA中的浮点数思考

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1.什么是浮点数

在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表示实数，但是到为止使用最广泛的是浮点表示法。浮点表示法，即用浮点数来表示实数，所谓浮点数，意思是小数点的位置不是固定的，是可以浮动的。浮点数采用IEEE 754这个标准作为统一的标准。该标准中严格定义个浮点数的表示格式、转化过程。

下面简单介绍一下IEEE 754标准。

IEEE 754的核心就是用科学计数法来表示实数，然后将表示结果转为二进制的方式，方便计算机存储。

例如250，在科学计数法中表示为2.5x10^2。

可以这样来描述以上的科学计数法的结果：

+2 2.5

+是表示正负的符号位，2是指数位，2.5是开头的数。

IEEE 754将上面的这种表示思路引入计算机中适配计算机中二进制的表示法，规定浮点数的表示格式为：

位符号位 位指数位 位尾数位

本文以单精度浮点数为例（双精度只是位数的长度不一样而已），单精度浮点数的格式如下：

1位符号位 8位指数位 23位尾数位

2.举个例子

以下举一个例子，0.75用单精度浮点数表示的过程：

2.1.十进制转二进制

0.75x2=1.5，整数位为1，小数位为0.5

0.5x2=1，整数位为1，小数位为0

0.75转成二进制小数结果为0.11

2.2.规范尾数位

规范尾数位的意思是，将小数点右移，直到出现整数位不为0的时候为止，0.11规范后的结果是：

1.1

小数点右移了一位

由于有23位的空间大小，于是用0填充上：

1.100000000000000000000000

由于开头整数位一定是1，所以规范里采取了简略的表示，将整数部分略去，最后规范结果为：

100000000000000000000000

2.3.计算指数位

指数位用来表示小数点移动了多少位，也就是指数位的取值范围就决定了整个数据能表示的范围。指数位用给了8位的长度，也就是说按理说指数位最大是255，但是第一位被留作了符号位，所以能表示值的只有后七位，所以整个符号位的表示范围是-127到+127。

之所以要考虑到负的指数值，是因为小数点即要考虑到左移的情况，也要考虑到右移的情况。

比如，110.001，在规范尾数位的时候就要左移，那么指数位就应该是复数。

比如，0.11，在规范尾数位的时候就要右移，那么指数位就应该是正数。

说明白这些后，我们继续向下计算。上面一步我们将小数点右移了一位，按理说指数位的值应该是1，但规范里面这里比较特别，默认指数位的初始值不是0而是127，如果是左移1位的话就127+1，右移一位的话就是127-1。

上面我们将小数右移了1位，于是指数位是：

01111110

2.4.拼接结果

最终结果为：

0 01111110 10000000000000000000000

3.精度丢失

来看一个JAVA中浮点数精度丢失的问题：

double a=0.1;
double b=0.2;
System.out.println(a+b);

结果会是：

看完前面浮点数的转化过程，应该就能想明白了，0.1和0.2在转二进制的时候是没办法转干净。

0.1转二进制：

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

0.2转二进制：

0.00110011001100110011001100110011001100110011001101...

所以将他们转浮点数后再进行运算，运算的结果转十进制输出，输出的结果一定不会是0.3。这就是一切浮点数运算中精度丢失的根本原因。

4.JAVA中的浮点数思考

为什么叫浮点数：

现在我们知道为什么JAVA中的小数叫浮点数了吧，因为就是用浮点数规范进行表示的小数。

为什么float的长度是32位：

上面我们提到过单精度浮点数的表示格式是：

1位符号位 8位指数位 23位尾数位

这里我们就能知道为什么Java的float长度为32位了。

为什么float的取值范围是正负3.4乘以10的38次方：

上面我们也提到了单精度的浮点数的指数位的取值范围是-127到+127，所以可以推导出来单精度浮点数能表示的范围是正负3.4乘以10的38次方，正好和JAVA中float的表示范围吻合。